意味と構造がわかるはじめての微分積分

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分母がゼロになる問題は、極限を使って回避できる。
lim x→0 は、ゼロではないので分母にｘがあってもいい。
運動方程式は、位置を時間で微分して速度、2回微分して加速度、を表現したもの。
摩擦や力の時間変化も運動方程式に入れられるが、解けなくなるため、数値解析で値を出すしかできない。
マグロの漁獲量を割り当てる問題も微分方程式を応用する。
微分方程式は未来を予測するが、複雑になると計算に時間がかかる。

赤道と北極で体重が変わる。赤道は遠心力の影響を受けるので軽くなる。体重50キロだと250ｇくらい変わる。

関数の積の微分公式
ｆ×ｇの微分＝fの微分×ｇ＋ｆ×ｇの微分
両辺を積分して移行すると部分積分の公式
（ｆ×ｇの微分）の積分＝ｆ×ｇ－（ｆの微分×ｇ）の積分
関数を（ｆ×ｇの微分）、になるようなｆとｇを探す。
ｘ×sinx は、ｆ＝ｘ、ｇ＝ーcosｘと考える。
（ｘ×sinx ）の積分＝（ｘ×ーcosｘ）ー（ーcosｘ）の積分＝ーｘ・cosｘ＋sinｘ＋Ｃ

合成関数の微分
ｆ（ｇ）の微分は、ｆの微分×ｇの微分
逆に使うと置換積分
合成関数の微分の形を探す。置換積分はひらめきと勘。

積分で体積が求められる。
断面積を表す関数を作って、積分する
曲線の長さを積分で求める。＝短い線分を三平方の定理で求めてそれを積分する。

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最近、⚪︎⚪︎を積分的に考えると…という表現を時々目にするが、佐藤優氏の影響だろうか。積分や関数は文法、つまり記号を法則的に成立させるルールである以上、人間は学習せずともその素養はあり、しかし共通言語として「積分」という専門用語の導きやそれを用いる最適な場面設定が無ければ発現できないだけ、と考えてみる。

生成文法からの延長で、ならば、数学的文法もある種の構文として生まれながらに人間に具備されている可能性があると思い、つい好奇心の仮説。

微分は増減、積分は累積の和。
自動ブレーキをかけるときの検出システムは、ミリ波レーダーがよく使われている。これはミリ波と呼ばれるパルス上の電波が物に当たって、跳ね返ってくるまでの時間から、その物までの距離を測るもの。移動中の2台の車の距離間を微分で計算している。

ニュートンの運動方程式、マックスウェルの方程式、ナビエストークスの方程式、波動方程式、拡散方程式、アインシュタイン方程式、ブラックショールズ方程式など微分方程式。

しかし、こうした「公式」を身に付けなくても、最早AIが実装し、場面に適した「文法」として自在に最適解を導いてくれる。公式と文法は類似品ではないか。あるいは、文法は数式の下位互換なのかも知れない。

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微積分の意味を数式を使わないで分からせてくれる本。(章が進むと数式もでてくる)
数学で落ちこぼれた人間に分かりやすく書いてくれているいい本です。