非ユークリッド幾何の世界 幾何学の原点をさぐる 新装版 （ブルーバックス）

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非ユークリッド幾何が曲面上の幾何だというのは、これまでも少し読んだことがありましたが、数学的にきちんと説明されたものはまだ読んだことがありませんでしたので、この本が復刻したのを機会に読んでみました。
前半は幾何の歴史や数学者達の非ユークリッド幾何発見の物語で、読んでいておもしろかったですが、後半の数学的説明になると、さすがに難解でした。
でも、とりあえずそういうことなのかという雰囲気は何となくわかった気になりましたので、これでよしとしました。

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ユークリッドの第五公理に対し、「平行線は二本引ける」として誕生した非ユークリッド幾何。その考え方と歴史から、幾何学の魅力をさぐる。

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幾何学の原点をさぐる
http://bookclub.kodansha.co.jp/product?item=0000194841

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「触覚的直線とか触覚的平面と、視覚的直線と視覚的平面とがあって、古代ギリシャ人と現代人の認識の大きな違いのひとつだ」ってとこ痺れた！！
そんなんが数学の本に書いてあるなんてね
こんなの、逆に数学者にしか言えないよね

「定規で書いたものと実物とはどう関わり合いがあるかわからない」
「思考実験と、実際のものを見たときと、見たものを画に描いたのと、それぞれ違う」
この辺も痺れるねー

「幾何は図形を動かす動かし方によって決まる」
なるほど、これも補足しようがないほどその通りだ

極め付けが、
「矛盾がないことをどうやって示すのだ、という数学的基礎論に辿り着く」

ガウスが平行線の無限遠を見つめながら、そもそも整数に矛盾がないことを認められない、だなんて、その数学的倫理観の高さにも痺れる！

そして、ユークリッド幾何学がただの幾何学のひとつのバリエーションでしかなくなり、非ユークリッドな幾何学を見つけるときの飛躍が、不完全性定理の景色だ

こんなこと、どうして今日までら知らなかったのだろう

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非ユークリッド幾何の創始に関わったルジャンドル，ガウス，ボヤイ，ロバチェフスキー，リーマン，クラインの歴史に詳しい。またユークリッド幾何と非ユークリッド幾何を行き来するための思考実験が盛り込まれている。読みやすい文体ではあるが内容は高度。