「無限」に魅入られた天才数学者たち

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めちゃめちゃめちゃめちゃめちゃめちゃめちゃおもしろい。無限とその宗教的文脈にまつわる多彩な知識に触れられることも魅力だし、何よりそこには登場人物やそういった背景すべてが影響し合っていく壮大なドラマがある。やがて、ゲオルク・カントールの人生を中心に、一旦の物語は収束していく。映画化したら絶対おもしろい。

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『無限』について、どんな種類があるか。
　その証明方法がエレガントです。
　直感に反するので、騙されてるような気がするのですが・・・

◇整数と有理数では、どちらが数が多いか。
　考えるまでもなく有理数だと思うのですが
　何と、整数と有理数では"同じだけ"あるのですね。
工夫すれば、全ての有理数は、整数と一対一の対応付けができますので。
　「整数の無限」と「有理数の無限」は、同じだけなのです。
　これは、とっても不思議な感じがしますね。

◇無限＋無限＝無限
　無限×無限＝無限
　ということですね。

　結局、無限とは１種類なのか？
　というと、そうではないです。
　有理数より無理数の方が、数が多いです。
　（当たり前のような気がしますが、証明できることがスゴイ）

◇さて、有理数より無理数の方がどれだけ多いか？
　こんなことがわかってしまうのが驚きです。
　無理数の数＝２の∞乗なのですね。
　１０の∞乗と言っても同じことなのですが。。。
　(有理数の数を"∞"で表してます)
　指数演算を使えば、無限は次の階層に到達する
　ということですね。

◇ここまでで、無限にも２種類あることがわかりました。
　同様にして、もっと大きなサイズの無限は、どこまででも
　無限に増やしていけます。
　しかし、この２種類の無限の間に、中間サイズの無限があるのか？
　「有理数の無限」と「無理数の無限」の間に、
　中間サイズの無限は存在しない
　というのが、"連続体仮説"というものですね。

◇本書は、その"連続体仮説"に挑んだ数学者達(といっても2名かな)
　の物語です。
　この難問に挑んだ数学者は皆(といっても2名)、精神を病んでしまうのですね。。。

◇結局、"連続体仮説"は今の数学体系の中では決定不可能、
　正しいとも正しくないとも証明できないことが知られています。
　こんなところで、不完全性定理と関連してくるとは

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無限、という、それこそ無限に妖しい光を放つ世界に踏み入れ、そこにはまっていった天才たちの生涯、そしてその功績を追った本。
学問としての数学が好きでなくても、翻訳者の青木薫氏による読みやすい日本語で、何となく理解できた感じで読み進められる一冊。

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頭脳明晰でありながら神経質で激しい気質を持つゲオルク・カントールは、自らの提唱した「カントールの連続体仮説」に魅入られ、そして苦悩を強いられた。彼は精神病を患い、入退院を繰り返した末にやつれ果てて死んだ。これは彼の生来の気質によるものなのか、彼ら天才数学者たちを狂わせる力が、「無限」に秘められているのか。

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ハヤカワNF文庫の「数理」を愉しむシリーズの1冊であり、手に取った書籍である。(2021年6月に一度読んだが、2026年2月に再度読み返した。)
「無限」という概念が古代ギリシャで発見されてから、ルネサンス期に数学として組み込まれていく過程、および、その組み込むに当たって発生していた課題の紹介も踏まえて、紹介した書籍であり、後半はカントールやゲーデルの生涯を追いながら、無限の概念の根幹に当たる連続体仮説や選択公理の課題が紹介されている。
正直、後半の実際に議論されている内容についてはなかなか理解が追い付かないところが多々あり、詳しい人に質問したいと感じながら、分かる部分を読み進めた感じであった。

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「無限」を追求した数学者の物語だ。特に19世紀の数学者ゲオルグ・カントールを中心に話しは展開され、集合論と無限を巡る理論の追求は迫力があった。数学の書物を読むたびに感ずるのは、数学の持つ同時代性だ。ピュタゴラスやアルキメデスなどの古代ギリシャやローマからルネサンス期のガリレオ、16世紀のデカルト、17世紀のフェルマー、パスカル、ニュートンなど、現代の数学と関連深く、同時代的に語られる。この種の書物が数学ど素人にも面白く感じられる所以はここにあるのではないかと思う。