数学ガールの秘密ノート／複素数の広がり

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3章までは高校大学で習ったことのある範囲であり、抜けていた知識の復習ができた。
相変わらず、数式だけではなくグラフによるビジュアルでの説明が入っており理解しやすい。

4章は複素平面上に正五角形を描くというテーマ。
言われてみれば分かるけど、こんなものよく発想できるよなあ、と。

5章は三次元の数、四次元の数と一気にレベルが上がる。
まさか複素数からこんな広がり方をするとは。考えたこともなかった。
一読では噛み砕くのが難しい内容だったので、計算しながら再読予定。

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Mathematical Girls: The Secret (Complex Numbers)
https://www.sbcr.jp/product/4815606022/

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本編より易しめに扱った｢秘密ノート｣でも、後ろ半分くらいはたいていついて行けなくなりますが、はじめのユーリのあたりで、｢普通にわかる範囲の算数・数学｣から、各巻のテーマの世界へ緩やかにつないでくれるのがありがたいです。

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2021-08-05
複素数の話なんだけど、読み進めていくと四元数の話になって、その辺から最近ボチボチ勉強してる群論に繋がってきて、ワクワクします。
個人的に伏線回収って気持ち。

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36年前は複素数平面は高校数学の範囲外だったので、複素数を平面上にプロットし、極形式で表現する辺りからとても興味深く読み進めることができた。後半の三元数、四元数への展開も面白かった。

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　数学ガール秘密ノートで自分にとっての最後の1冊を読み終わりました。今回は「複素数の広がり」という副題となっています。複素数は高校の数学で習いましたが、「2乗すると-1になる」というそれまでなかった概念が導入されたということは理解していたと思うのですが、それで何が便利になるのか、どういったことに使われるのかについては教えてもらえなかったと記憶しています。

　数学ガールでは用途については特に説明されていませんでしたが、複素数を常に図形で表してみたり、実数との違いについて丁寧に説明したり、共役複素数という互いに虚数部分の絶対値が等しい複素数について図形で確かめながら説明がなされ、「嘘」の概念ではなく、実際に図形上確認のできる「実際の」数値的概念であることが理解できるようになっています。
a+biの共役複素数はa-bi
a-biの共役複素数はa+bi

また複素数を三角関数で表現できることも確認した上で、複素数の積は加法定理を介して偏角の和と単位円に対して絶対値をもって図形上表現できることも学びました。

その後、先生からのメッセージで「正五角形を複素数を介して図形上表現」し、テトラちゃんの希望から、その頂点を「実際の複素数」で表すといったことも行いました。

最後に複素数に対して3次元数、4次元数を表現することができるのかどうかを証明していきます。そこではまず3次元数は矛盾があることを証明しました。また4次元数はテトラちゃんの「ベクトルで表現する」というアイディアとその方針では一部の矛盾を内包していることを確認します。しかしそのアイディアを生かして積の交換法則を回避した複素共役を利用した数式の変換で表現できることを仲間と一緒に証明するのです。

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新しい世界
新しい数字を定義する
虚数、
その虚数から複素数の世界。
定義することで数学がはじまる
矛盾なく世界が新しく生まれる。
定義した数字を
グラフにしたり
式にしたり
いろんな世界を飛び回るように
遊びまわるように、
四次元の世界へ。

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複素数のことを知りたくて、これまで三角関数とベクトルの巻を読んでから臨んだけど‥難しかったからAIに聞きながらなんとか文字だけ追って読み終わった。複素平面上の点は一つの数を表していて座標平面とは違うということと、座標みたいにして表したり、円周上の点として表したり、足し算や掛け算で点の移動ができるってことを知りました。