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ポアンカレ予想(新潮文庫)
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  • カテゴリ:一般
  • 発売日:2014/09/26
  • 出版社: 新潮社
  • レーベル: 新潮文庫
  • サイズ:16cm/402,98p
  • 利用対象:一般
  • ISBN:978-4-10-218591-9
  • 国内送料無料
文庫

紙の本

ポアンカレ予想 (新潮文庫 Science & History Collection)

著者 ドナル・オシア (著),糸川 洋 (訳)

宇宙の形は球体と証明できるのではないか? 1904年、フランスの数学者により提出された幾何学難問が、およそ100年の時を経て証明された。ポアンカレ予想とその証明の背後にあ...

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ポアンカレ予想 (新潮文庫 Science & History Collection)

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商品説明

宇宙の形は球体と証明できるのではないか? 1904年、フランスの数学者により提出された幾何学難問が、およそ100年の時を経て証明された。ポアンカレ予想とその証明の背後にある数学の物語を明らかにする。〔「ポアンカレ予想を解いた数学者」(日経BP社 平成19年刊)の改題〕【「TRC MARC」の商品解説】

1904年、フランスの数学者アンリ・ポアンカレにより提出された世紀の幾何学難問。「宇宙の形は球体と証明できるのではないか?」さまざまな数学者が挑み続け、ついにグレゴリー・ペレルマンが論文を発表した。およそ100年の時を経て果たされた「ポアンカレ予想」の証明。そこに至る数学を歴史的にひもときながら学べる入門書、待望の文庫化! 『ポアンカレ予想を解いた数学者』改題。【商品解説】

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みんなのレビュー7件

みんなの評価3.6

評価内訳

  • 星 5 (0件)
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  • 星 3 (1件)
  • 星 2 (0件)
  • 星 1 (0件)

2015/01/28 07:44

投稿元:ブクログ

ポアンカレ予想が証明されるまでの物語として楽しめた。

ポアンカレ予想そのものや数学の理論については、理解と想像の助けになる具体的な例を挙げ平易に説明がなされている。

とはいえ、私の数学的素養が及ばす理論の説明部分のほとんどは読み流した。

2014/10/19 22:34

投稿元:ブクログ

歴史的な難問であるPoincare予想に関する歴史的な背景及び問題を説いたPerelmanの人物像と解答のざっくりとした流れが記載されている一冊である。

少し前にNHKでPoincare予想のドキュメンタリーが放映されて、宇宙の形を決める問題とかPerelmanの不思議な人物像が話題になったのは記憶に新しい。

Pincare予想とは、簡単にいってしまえば「多様体上のあらゆる閉じたループを一点に縮めることができる3次元多様体は球面と位相的に同相である」という主張である。
一般の方は、多様体とは、位相とは、同相とはということを理解する必要がある。これがわかっている読者は本書をほとんど読む必要はない。(問題の歴史的な経緯が知りたければ、もっと適当は書籍があるのかと思う)

位相幾何学を学ぶとこの主張内容は素朴で、自然に疑問として湧き上がる命題であるが、それを数学的に証明するとなると非常に非常に難しい。

Poincare予想の二次元バージョンならば簡単で、二次元多様体は位相的には球面とトーラス(いずれも立体の表面)しかないので、トーラスは一点に縮めることができないループが存在するため、一点に縮めることができる多様体は球しかない。
しかし、これが3次元となると直感的に扱いにくい。三次元多様体を埋め込むためには4次元以上の空間が必要で、これは我々の宇宙のモデルに近いがそれを頭のなかでイメージするのは難しい。
そして、3次元多様体は、二次元多様体の時と同様に全ての多様体を有限個に分類することができるのであろうかという問題も面白い。
ちなみにこれはズバリ有限個に分類することができ、8つに分けることができる。Thurstonの幾何化予想と呼ばれ実はPoincare予想を包括している。
Perelmanはこの予想も肯定的に解決してPoincare予想も解いたのである。

位相幾何学は名の通り、物体を伸び縮みさせても変わらない構造上の性質を研究する学問であり、物理学的な応用も広く、とくに素粒子理論方面に活用されている。

ちなみに、Poincare予想を解くと宇宙の形がわかるというのは当たらずといえども遠からずであり、地球から紐を持ってスタートして再び戻ってきた時に、その紐が回収できるのであれば宇宙は球体と同相といえるが、その経路を無限に調べないといけないので、実際はこの方法では調べることができない。
(現在は銀河規模で距離は計測し、その曲率を精緻に計算している。それによると、宇宙の形はほぼ平面であるらしい)

この問題に対して挑戦した人の歴史もまた、面白く書かれているので、この手の本を読んだことがなければお薦めしたい。
ただし、数式をほぼ使用していないので、逆にわかりにくい表現となっているので、一般の方はそれらはそんなものか、という軽い感じで読み進めれば良いと思う。

2015/03/25 16:42

投稿元:ブクログ

読書録「ポアンカレ予想」4

著者 ドナル・オシア
訳 糸川洋
出版 新潮文庫

p388より引用
“数学は個人の営みだ。だが、数学の概念や
定理は、一個人のものでもなければ、特定の
民族や宗教や政治団体の所有物でもない。
数学の概念や定理は、人類全体の資産であ
る。”

目次から抜粋引用
“地球の形
 宇宙の形
 リーマンの遺産
 ポアンカレの遺産
 新ミレニアムを飾る証明”

 数学者である著者による、数学の難問とそ
の証明がなされるまでを記した一冊。
 古代の数学から難問の証明まで、数学の発
展に尽力した学者たちや、彼らの生きた歴史
背景を交えながら書かれています。

 上記の引用は、ポアンカレ予想の証明とそ
こまでの数学者の努力について書かれた章で
の一節。数学だけでなく科学的な実績につい
ても、これは言えることなのでしょうね。
最近は知的財産権や特許の保有期間を長くす
る傾向にあるようですが、この引用を読んで
いると、少し考えさせられます。
 ひと通り読んでもイマイチ分からない程度
の私でも、証明を成し遂げたグリゴリー・ペ
レルマン博士の奥ゆかしさには、頭が下がり
ます。噂ではこの証明の後、精神を病んで表
舞台から消えたなどと聞いていましたが、た
んに見せ物になりたくなかっただけとあって、
安心しました。

ーーーーー

2014/11/06 22:54

投稿元:ブクログ

「ポアンカレ予想」
ペレルマンとポアンカレ予想。


ポアンカレ予想とは何か。それは、調べて頂くとして、この世界で最も美しく最も難解な数式に挑んだのは、天才の中の天才と名高いグリゴリー・ヤコヴレヴィチ・ペレルマンである。


ペレルマンは、3つの驚きを多くの数学者に提供した。1つは、ポアンカレ予想を鮮やかに解決すると言う驚き、2つ目は、多くの数学者が位相幾何学(トポロジー)の観点から挑戦する中、微分幾何学や物理学的アプローチをとったと言う驚き、そして3つ目は、ペレルマンの解決方法は、さっぱり分からなかったと言う驚きである。


しかしながら、本書は希代の大天才ペレルマンのみに焦点を当てた本では無い。地球は円形なのだ、と言う事から話は遡り、一歩一歩ポアンカレ予想に近づいていくのだ。


地球は円形であると言うのには、コロンブスが絡んでくる。コロンブスは、地球は丸いと認識した上で、海を渡ったと言う。てっきり、コロンブスは地球を平面だと思い込んでいたと思っていたが、当時でさえ地球は丸いと言う認識で一致していたのだ。これは、知らなかった。そんな時代に世界を股にかけたコロンブス、少し悲哀を感じてしまうのは何故だろう。


また、ピタゴラスやアリストテレス、プラトンも出てきただろうか。ギリシャ哲学黄金時代の話も登場する。やはり、謎はいつの時代も人を惹きつけるみたいだ。彼らの知らない歴史も知れて「へー」を連呼していた。


そして、いよいよ、ポアンカレ予想である。この数々の数学者を楽しませ、悩ませる難題に向かうは、ペレルマン。ペレルマンの前に解明に取り組んだ天才達も必見だ。


しかし、しびれる。

2014/10/19 10:53

投稿元:ブクログ

とっても興味深い内容。サイモン・シンの一連の作品と同様に数列などは一切出てこず前半は数論の歴史に終始するが後半からポアンカレ予想の核心に迫るためどんどん難解になってゆく。もうほとんど理解不能な領域だけど高次元空間の面白さは伝わってくる。本そのものの難易度で言うとフェルマーの最終定理やリーマン予想よりはるかに高いかも。

2015/04/10 14:38

投稿元:ブクログ

「――宇宙の形は球体と証明できるのではないか? 」。グレゴリー・ベレルマンが証明した位相幾何学(トポロジー)上の難問。位相幾何学の解説に始まり、幾何学の歴史、ピュタゴラス・ユークリッド・ガウス・リーマン・ポアンカレ・ベレルマンなどの数学者の歴史が書かれていて興味深い内容でした。置いてきぼりを食らった部分もありましたが(笑)、位相幾何学への関心は深まりました。

2015/08/15 22:51

投稿元:ブクログ

幾何学と位相幾何学の発展の歴史、ポアンカレ予想が生まれた背景は興味深い。何より、ポアンカレ予想に挑戦した数学者達がドラマチックに描かれ、歴史小説としても面白い。位相幾何学や四次元以上の概念に関し理解できなかった部分も多いが、学べたことも多く、世界を見る新しい視点が得られたように感じる。

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