定本解析概論

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投稿者：類太郎　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

私が見た限りでは, 数列の極限の例として挙げられている lim_(n→∞)(a^n)/n!＝0(∀a＞0) の証明と実数の連続性についての考察においてアルキメデスの原理を暗黙の了解で使用していること, 公理的測度論において全体集合の可測性を仮定していないこと, ルベーグ積分の構成に不可欠な「Ｒの開集合は(互いに連結していない複数の)開区間(の和集合)である」ことの証明の誤り, がある. アルキメデスの原理が「実数の連続性の公理に含まれる」(意訳すると下限の存在からアルキメデスの原理が出る)ことの証明は, 後の積分法の章の始めに, 古代の求積法の紹介の最後にある. 上限の存在によるアルキメデスの原理の証明も, 何か間違えていないかと考えていた. また「zの有限な値に対して」指数関数の値は 0 にならないと述べているが, リーマン球面を定義していない(無限遠点 ∞ を定義していない)ので明確な意味は無い. 「zの値が無限大」であることは, リーマン球面 Ｃ∪{∞} において意味を持つ. ここでは単に |z_n|→∞ となる点列 {z_n}⊂Ｃ に対する関数値 exp(z_n) を論外とすることを意味するのだろう.

しかし私としては, 何を伝えたいかは正確に伝わってきたし, 書き方が, 詳しいけれど冗長でもなく語りかけるようなものであって(前書きを意訳すると, 専門書の書き方と, 文庫本の書き方をうまく融合させて)解析の土台の実数論も書いてあるから, 結局は読んでいて楽しかった. 事実の本質は見抜いている. 序章と付録の, 実数論(位相的な話と実数の構成などの部分)だけでも, 読む価値がある. 私が読んだ限り, この本の全体で「解析学読本」の論理に矛盾はなかった.

やはり多くの微分積分の本の手本とされてきたくらいであり, 微分積分の使用者向けの本より詳しく, 初等的な実解析と複素関数論の入門事項が分かるので, 表記や述べ方に古い面が少しあるくらいで読む価値は下がらない. フーリエ級数の章があるのは, 出版された時代には「微分積分の本で基礎をまとめた本はこの本しかなかった」らしく, 微分積分の使用者から必要とされたからだろう.

初等関数の定義は, 読本としての読みやすさのために, 級数の理論を展開してから, log, sin を積分により定義して, このふたつから exp, cos をみちびき, これらを冪級数に展開して, 実変数を複素変数に取り替えて, 冪級数で定義し直している. ここも読み甲斐があった. なお, 先に初等関数を定義しないことは,「解析入門1」と同じく, 例として挙げるけれど論理展開には用いないので問題は無い.

最終章の測度論と積分論は述べ方も記法も古くて, ルベーグ積分を述べる前の測度論に不備がある. 今は現代的に書かれた本(「ルベーグ積分入門」「実解析入門」「新版 ルベーグ積分と関数解析」「ルベーグ積分論」「新訂版 数理解析学概論」など)を選ぶほうがいい. しかし, ひとつだけ良い所がある. ルベーグによる元々の積分の定義との同値性を証明している. 明確に言及までしているのは, この本だけだろう.

高木関数について, 原論文を工夫して読みやすく分かりやすくした解説があり, 容易に安価に手に入る高木関数(定義域全体で微分不可能な連続関数)の資料としても貴重であろう.

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投稿者：kouno　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

解析で困ったまずこれを開くようにしています。
微積の基礎がしっかりと書かれています、古い本なので単語等が違い探しにくいことはありますが頼れる一冊です。
こちらに物理で出る特殊関数の他フーリエ、ラプラス変換とデルタ関数が載っていないので他で補完しなければなりません。
演習や手軽な例題も少ないので即実用的な物が欲しい場合は他を当たるべきでしょう。