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超準解析と物理学 増補改訂版
超準解析と物理学 増補改訂版 超準解析と物理学 増補改訂版
  • みんなの評価 5つ星のうち 5 1件
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  • カテゴリ:大学生・院生
  • 発売日:2017/09/19
  • 出版社: 日本評論社
  • サイズ:21cm/322p
  • 利用対象:大学生・院生
  • ISBN:978-4-535-78838-1
  • 国内送料無料
専門書

紙の本

超準解析と物理学 増補改訂版 (数理物理シリーズ)

著者 中村 徹 (著)

無限大を実無限としてとらえる解析学「超準解析」の基礎と、エルゴード理論・ボルツマン方程式・経路積分など物理学への応用を丁寧に解説する。確率微分方程式への応用を追加した増補...

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超準解析と物理学 増補改訂版 (数理物理シリーズ)

税込 5,940 55pt

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商品説明

無限大を実無限としてとらえる解析学「超準解析」の基礎と、エルゴード理論・ボルツマン方程式・経路積分など物理学への応用を丁寧に解説する。確率微分方程式への応用を追加した増補改訂版。【「TRC MARC」の商品解説】

目次

  • 第1章 超準解析
    • 1−1節 超実数体*R
    • 1−2節 R,*Rの上部構造
    • 1−3節 移行原理
    • 1−4節 内的と外的
    • 1−5節 *Rの具体的な構造
    • 1−6節 広大化と飽和性
    • 1−7節 極限,連続,微分積分
    • 1−8節 位相
  • 第2章 超準解析による積分論とその応用

著者紹介

中村 徹

略歴
〈中村徹〉1948年宮崎県生まれ。京都大学理学部数学科卒業。元駿台予備学校数学科講師。理学博士。著書に「超準解析とファインマン経路積分」「力学」「電磁気学」など。

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評価内訳

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紙の本

超実数体 *R の定義だけでも味わいがある本

2019/07/20 06:08

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る

殆んど至る所で, 多くの概念や引用が天下り的な物や公理的な物ではなく, 導入や背景を詳しく明確に述べているので, 非常に読みやすい. 超準解析の絶版でない和書は本書しかないが, 初学者でも時間をかけて考えれば基本的な事柄は必ずわかると感じられるほど, ゆったりていねいに書かれてある. なお, 予備知識としては不要だが, 公理的集合論・群論の左剰余類およびそれによる商群・測度論・ルベーグ積分・超関数論・ヒルベルト空間の理論に慣れていると, なお読みやすいであろう.

超準解析では実数体 R を超実数体 *R に拡大することで, 従来の解析学をより広い立場から定理と証明を見直したり, 概念の初等化(無限に小さい数や無限に大きい数そして特定の数に無限に近い数という概念がある直観的な数の体系・超関数が関数になること・積分が有限和になることなど)をすることができる. 超準解析による実数論や位相空間論の定理の証明には感動した. まだ数学的定式化が無い, 経路積分とも関係が深いことも知ることができた. 非常に興味深い.

超準解析を学ぼうとする方のためにも, 直観的な *R の「定義式」を書いておく:Nを自然数の成す集合とする. (例えば a_n=√n, b_n=log(n) とするとき, 通常の意味で lim(a_n)=lim(b_n) であるが, ここでは lim(a_n)>lim(b_n) とみる. )

*R={ lim_(n→∞)a_n | (a_n):N→R, lim(a_n)=lim(b_n) :⇔ ∃n'∈N, ∀n≧n', a_n=b_n }.

増補改訂版はソフトカバーだが, 旧版はハードカバーであるので, 同じページを長く開けていても跡がつきにくい. 増補改訂版には確率微分方程式について新たに付録が加わっている.

(自作正誤表)

24頁目に
B_0=Rとなるが, このときB=*(B_0)=*R
とあるが正しくは
B_0=[0, ∞)となるが, このときB=*(B_0)=*[0, ∞)
である.

42頁目 広大化の定義(3)に
{ ((ι_1)^2)(x):x∈A_1}⊂A_2⊂((ι_1)^2)(A_2)
とあるが正しくは
((ι_1)^2)(x)⊆A_2((ι_1)^2)(A_2) (x⊆A_1)
である. なお26頁目にある分出公理と42頁目および43頁目のκ-級広大化定理の証明にある順序数と帰納的極限については「新訂版 数理解析学概論」が参考になる.

238頁目の不備:
(D^(0))(X)をコンパクトなハウスドルフ空間(例えばユークリッド空間の有界閉集合)X上で連続な関数の成す集合として試験関数の空間D(X)の位相を入れて線型位相空間とする. また(D^(0))'(X)を(D^(0))(X)上の連続線型汎関数の成す線型位相空間とする. (D^(0))(X)に最大値ノルムを入れてバナッハ空間C(X)とした場合, (D^(0))'(X)の元はD(X)の位相で連続ならC(X)の位相でも連続である. (コンパクト集合X上で関数φがC^∞級である:⇔開集合Ω⊃Xが存在してφがΩでC^∞級, としておく. )

238頁目の(2)について
(D^(0))'(Ω)=M(Ω)
とあるが正しくは

Ωの閉包(ここでもclΩと書く)がコンパクトなとき
(D^(0))'(clΩ)
=clΩ上の符号付き有限ベール測度全体(の集合)
(:=B(clΩ))

ではないかと思われる. 任意のf∈(D^(0))'(clΩ)に対してclΩ上のσ-加法族における符号付き有限ベール測度mが一意に存在して
f(φ)=∫_(clΩ)φ(x)m(dx) ( ∀φ∈(D^(0))(clΩ) )
が成り立つゆえfとmを同一視できる. この同一視により(D^(0))'(clΩ)⊆B(clΩ)であり, 逆に上の積分により符号付き有限ベール測度に(D^(0))'(clΩ)の元を一意に対応させればB(clΩ)⊆(D^(0))'(clΩ)となるからである.

(「新版 ルベーグ積分と関数解析」178-179ページ目による. ベール測度と試験関数の空間については「新訂版 数理解析学概論」の第16章と第17章を参照されたい. )

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