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  • カテゴリ:一般
  • 発売日:2019/02/09
  • 出版社: 森北出版
  • サイズ:22cm/217p
  • 利用対象:一般
  • ISBN:978-4-627-05451-6
  • 国内送料無料
専門書

紙の本

逆数学 定理から公理を「証明」する

著者 ジョン・スティルウェル (原作),田中一之 (訳),川辺治之 (訳)

定理の証明には、いったいどれくらいの公理が必要なのだろう? 与えられた定理を証明するために必要な公理を探し求める「逆数学」。解析学の基礎を通して、逆数学の基本的な考え方を...

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逆数学 定理から公理を「証明」する

税込 3,960 36pt

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商品説明

定理の証明には、いったいどれくらいの公理が必要なのだろう? 与えられた定理を証明するために必要な公理を探し求める「逆数学」。解析学の基礎を通して、逆数学の基本的な考え方を解説。歴史的な話題も取り上げる。【「TRC MARC」の商品解説】

「定理の証明には、いったいどれくらいの公理が必要なのだろう?」――古くは紀元前から、数学にはたびたびこの疑問が投げかけられてきた。この疑問にある種の回答を与えるのが、逆数学とよばれる数学基礎論の一分野である。

逆数学では、“公理”から“定理”を導く通常の数学とは異なり、“定理”に必要な“公理”を探る。これによって、定理どうしを“深さ”で分類したりすることができる。たとえば、「最大値の定理は中間値の定理より“深い”」といった具合だ。

本書では、解析学の基礎を通して、逆数学の基本的な考え方を解説。要所要所で歴史的な話題にも触れながら、読者をナビゲートしていく。

本書を読み終えた後、読者は、これまで出会ってきた定理たちを少し違った角度から眺めている自分に気づくはずだ。

「数学者は、材料の公理を加工して、定理という製品をつくり出す機械みたいなものか、といえば決してそうではないだろう。むしろ、ある定理を生み出すためにはどんな概念や仮説が必要か、あるいは、どうすればもっと少ない仮定で同じ定理が導けるかと考えていることが多いはずである。そのような(…)数学の内側(inside)を探る方法はないだろうか。この素朴な疑問に対して、内視鏡のような強力な道具を与えるのが逆数学なのである。」(監訳者解説より)【商品解説】

目次

  • 第1章 逆数学に至る歴史
  • 第2章 古典的算術化
  • 第3章 古典的解析学
  • 第4章 計算可能性
  • 第5章 計算の算術化
  • 第6章 算術的内包公理
  • 第7章 再帰的内包公理
  • 第8章 全体像
  • 監訳者解説

著者紹介

ジョン・スティルウェル

略歴
〈ジョン・スティルウェル〉サンフランシスコ大学教授。著書に「数学のあゆみ」「不可能へのあこがれ」「初等数学論考」など。

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みんなのレビュー1件

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評価内訳

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紙の本

幾何学や解析学の基礎に触れながらの逆数学入門

2019/03/09 00:15

2人中、2人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る

最初の幾何学な説明については, 三平方の定理の証明や球面幾何および双曲幾何について初歩的なことを知っていると良い. 後者二つは「数学ガール ポアンカレ予想」が参考になる. 解析学についても基礎的なことから説明されており, また全体的に読みやすい印象である. 読み物としても楽しめるのではないだろうか. ただZFCと選択公理から証明されるいくつかの定理を知っていないと理解は厳しいかもしれない. また数の厳密な定義は「新訂版 数理解析学概論」を読んだ私にとって復習になったが初学者には特に実数の定義がわかりにくいであろう. 論理について杉浦「解析入門1」の附録や足助「線型代数学」の序章に書かれてある程度の論理学は既知としている. さらに高校数学Aでも扱われているユークリッドの互除法をアルゴリズムとして理解していないと読めないかもしれない. Nの冪集合P(N)=Rも本文の理解の補助になる. 説明自体は多少厳密性を犠牲にしつつもていねいであり夢中になっている. 例えば縮小閉区間列がひとつの実数を定めることにはπの十進小数展開を先取りして説明しており, またRの部分集合S上の連続関数の定義にはSがRの通常の位相で開集合であるという仮定が要る.

私は, 逆数学とは知らずに, 選択公理から証明される関数解析において重要なハーン-バナッハの定理の何らかの派生から, 選択公理を証明できないか考えたことがある. 結果は既知であった(Twitterの選択公理botに既知の事実のツイートがあった)のと新たに作れなかった(作れたつもりだが誤りがあった)ので失敗に終わったが, この本と出会う良いきっかけになった. なお関数解析におけるハーン-バナッハの定理の重要性は宮寺「関数解析」が参考になる.

また本書を読んでいて自己検査問題がラッセルのパラドックスに似ている気がした. 何か関係がありそうな気がする.

ちなみに誤植はかなり少ない.

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