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目次

離散幾何学講義

離散幾何学講義

  • J.マトウシェク(著)/ 岡本 吉央(訳)
  • 第1章 凸性の理論
    • 1.1 線形部分空間,アフィン部分空間,一般の位置
    • 1.2 凸集合,凸結合,分離定理
    • 1.3 Radonの補題とHellyの定理
    • 1.4 中心点定理とハム・サンドイッチ定理
  • 第2章 格子とMinkowskiの定理
    • 2.1 Minkowskiの定理
    • 2.2 一般の格子
    • 2.3 数論での応用
  • 第3章 凸独立部分集合
    • 3.1 Erdos-Szekeresの定理
    • 3.2 Horton集合
  • 第4章 接続問題
    • 4.1 問題の定式化
    • 4.2 接続問題と単位距離の下界
    • 4.3 点-直線接続対と交差数
    • 4.4 相異距離と交差数
    • 4.5 点-直線接続対とカッティング
    • 4.6 カッティング補題の弱いバージョン
    • 4.7 カッティング補題:タイトな上界
  • 第5章 凸多面体
    • 5.1 幾何的双対性
    • 5.2 H-多面体とV-多面体
    • 5.3 凸多面体の面
    • 5.4 面の数:巡回多面体
    • 5.5 上限定理
    • 5.6 Gale変換
    • 5.7 Voronoi図
  • 第6章 アレンジメントにおける面の数
    • 6.1 超平面アレンジメント
    • 6.2 その他の幾何的対象のアレンジメント
    • 6.3 k以下レベルの頂点数
    • 6.4 ゾーン定理
    • 6.5 カッティング補題再訪
  • 第7章 下側エンベロープ
    • 7.1 線分アレンジメントとDavenport-Schinzel列
    • 7.2 線分集合の下側エンベロープの超線形複雑さ
    • 7.3 Davenport-Schinzel列に戻って
    • 7.4 線分に対するタイトな上界に向けて
    • 7.5 高次元へ上がると:空間における三角形
    • 7.6 平面上の曲線
    • 7.7 代数曲面パッチ
  • 第8章 凸集合の交わりパターン
    • 8.1 分数版Hellyの定理
    • 8.2 彩色版Garathéodoryの定理
    • 8.3 Tverbergの定理
  • 第9章 幾何的選択定理
    • 9.1 第一選択補題
    • 9.2 第二選択補題
    • 9.3 順序タイプと同タイプ補題
    • 9.4 ハイパーグラフの正則性補題
    • 9.5 正比率選択補題
  • 第10章 横断理論とε-ネット
    • 10.1 一般的な準備:横断とマッチング
    • 10.2 ε-ネットとVC次元
    • 10.3 VC次元の有界性と応用
    • 10.4 凸集合に対する弱ε-ネット
    • 10.5 Hadwiger-Debrunnerの(p,q)-問題
    • 10.6 超平面横断に対する(p,q)-定理
  • 第11章 点配置におけるk-集合問題
    • 11.1 定義と最初の評価
    • 11.2 等分割辺の数が多い集合
    • 11.3 Lovászの補題と全ての次元に対する上界
    • 11.4 平面に対する上界の改善
  • 第12章 高次元多面体の2つの応用
    • 12.1 弱理想グラフ予想
    • 12.2 Brunn-Minkowskiの不等式
    • 12.3 半順序集合のソート
  • 第13章 高次元における体積
    • 13.1 体積,高次元のパラドックス,ネット
    • 13.2 体積近似の難しさ
    • 13.3 体積が大きい多面体の構成法
    • 13.4 楕円体による凸体の近似
  • 第14章 測度集中と概球面切断
    • 14.1 球面上の測度集中
    • 14.2 等周不等式と測度集中
    • 14.3 Lipschitz関数の集中
    • 14.4 概球面切断:はじめの一歩
    • 14.5 中心対称多面体の面の数
    • 14.6 Dvoretzkyの定理
  • 第15章 有限距離空間のノルム空間への埋め込み
    • 15.1 導入:近似埋め込み
    • 15.2 Johnson-Lindenstraussの平坦化補題
    • 15.3 数え上げによる下界
    • 15.4 Hamming立方体に対する下界
    • 15.5 エクスパンダによるタイトな下界
    • 15.6 Fourier変換によるタイトな下界
    • 15.7 l∞に対する上界
    • 15.8 Euclid埋め込みに対する上界
    • 15.9 近似埋め込みの進展:2002年〜2005年

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