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目次

曲面の微分幾何学 局所理論から大域理論へ

曲面の微分幾何学 局所理論から大域理論へ

  • 塩濱 勝博(共著)/ 成 慶明(共著)
  • 第1章 序論
    • 1.1 Euclid空間
    • 1.2 ベクトル値関数
    • 1.3 空間の向き
    • 1.4 ベクトル外積
  • 第2章 曲線の微分幾何学
    • 2.1 曲線の概念
    • 2.2 Frenet‐Serretの公式
    • 2.3 定曲率曲線
    • 2.4 接触平面,法平面,展直平面
  • 第3章 曲面の微分幾何学
    • 3.1 Rnの位相の復習
    • 3.2 曲面の概念
    • 3.3 向き付け可能な曲面
    • 3.4 曲面の接平面と法線
  • 第4章 第1基本形式と第2基本形式
    • 4.1 第1基本形式
    • 4.2 第2基本形式
    • 4.3 曲面上の曲線と法曲率
    • 4.4 主曲率と曲率線
    • 4.5 漸近方向と漸近線
  • 第5章 曲面の基本方程式と積分可能条件
    • 5.1 曲面の基本方程式
    • 5.2 積分可能条件
    • 5.3 Gaussの公式
  • 第6章 Gauss‐Bonnetの定理
    • 6.1 外微分形式
    • 6.2 Stokesの公式
    • 6.3 領域上のGauss‐Bonnetの定理
    • 6.4 閉曲面上のGauss‐Bonnetの定理
  • 第7章 位相空間からの準備
    • 7.1 諸概念の定義
    • 7.2 概念間の同値性
    • 7.3 位相
    • 7.4 位相の強弱
    • 7.5 位相の生成
  • 第8章 種々の位相空間
    • 8.1 密着位相と離散位相
    • 8.2 連続写像
    • 8.3 集積点と孤立点
    • 8.4 分離公理
    • 8.5 コンパクト空間とコンパクト集合
    • 8.6 位相空間の連結性
    • 8.7 道の空間のホモトピー
    • 8.8 基本群と被覆空間
  • 第9章 Riemann幾何学からの準備
    • 9.1 多様体
    • 9.2 Riemann計量
    • 9.3 指数写像
    • 9.4 第1変分公式と第2変分公式
    • 9.5 Jacobi場
    • 9.6 完備Riemann多様体
  • 第10章 曲面の大域的性質:定曲率曲面
    • 10.1 曲面の位相
    • 10.2 Gauss曲率一定の完備曲面
    • 10.3 Liebmannの定理
    • 10.4 完備平坦曲面に関するW.Masseyの定理
    • 10.5 平坦曲面の平面への展開
  • 第11章 2次元完備開Riemann多様体の全曲率
    • 11.1 Cohn‐Vossenの定理
    • 11.2 Huberの定理
  • 第12章 極小曲面
    • 12.1 極小曲面と面積
    • 12.2 グラフ曲面
    • 12.3 Bernsteinの定理
    • 12.4 極小曲面の安定性
  • 第13章 平均曲率が一定な曲面
    • 13.1 Hadamardの定理
    • 13.2 Hopfの定理
    • 13.3 Alexandrovの定理
    • 13.4 Klotz‐Ossermanの定理
  • 第14章 主曲率の1つが一定な完備曲面
    • 14.1 Willmoreの予想
    • 14.2 Shiohama‐Takagiの定理
  • 第15章 Appendix Ⅰ:曲線の長さと微分可能性について
    • 15.1 曲線の長さ
    • 15.2 有界変動関数の微分可能性
  • 第16章 Appendix Ⅱ:Whitneyのはめ込み定理の概説
    • 16.1 1の分解とexhaustion関数の構成
    • 16.2 Sardの定理
    • 16.3 m×n行列の空間
    • 16.4 はめ込みの構成
  • 第17章 Appendix Ⅲ:コンパクト部分多様体の全絶対曲率
    • 17.1 部分多様体のGauss写像
    • 17.2 Chern‐Lashofの定理
  • 参考文献