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目次

  • 第1章 無限と有限と無限小と
    • 1.一番大きな数
    • 2.数と数の間の数
    • 3.有理数も無理数も
    • 4.可能無限小と収束する数列
    • 5.まじめに発散する数列
  • 第2章 有限と無限の狭間
    • 1.2項定理は数学的帰納法の故郷
    • 2.多項式の次は?
    • 3.指数aαの定義
    • 4.事実1と2の無限大・無限小の大小
    • 5.2重数列と事実1と2の狭間
    • 6.実数の定義(区間縮小法)
    • 7.数eの定義と連続の公理
    • 8.eの定義をもう一度
    • 9.階差数列からは数列も級数
  • 第3章 級数に有限・無限の狭間を見る
    • 1.eの定義ふたたび
    • 2.コーシー列
    • 3.収束しない数列たち
    • 4.コーシー列は収束する
    • 5.交代級数−行ったり来たりじゃ遠くにゃ行けぬ
    • 6.正項級数
    • 7.級数からはたくさんの狭間が見える
  • 第4章 関数の話にしよう
    • 1.集合の言葉
    • 2.写像の言葉
    • 3.関数登場
    • 4.位相の言葉
    • 5.素直な関数たち
    • 6.不連続点あれこれ
  • 第5章 連続と連結とコンパクト
    • 1.連続関数の2大定理
    • 2.集合の上限・下限
    • 3.中間値の定理の証明
    • 4.最大値の定理の証明
    • 5.ノルム空間・内積空間としてのユークリッド空間
    • 6.距離空間・位相空間としてのユークリッド空間
    • 7.平面曲線
    • 8.デデキントの公理(実数の連続性の公理の関係)
    • 9.丸餅と大福餅と鏡餅の問題
  • 第6章 多項式と微分
    • 1.既知の連続関数
    • 2.単調性と連続性:連続関数の具体例
    • 3.関数等式で定まる連続関数
    • 4.関数としての多項式
    • 5.ホーナー法
    • 6.ホーナー法で無理数解を近似する
    • 7.多項式の1次近似と微係数
    • 8.多項式の微分
  • 第7章 微分:定義と基本性質
    • 1.有理関数の微分
    • 2.一般の関数の微分
    • 3.導関数を表す記号
    • 4.基本性質
    • 5.合成関数,逆関数
    • 6.ライプニッツの記号で書けば
    • 7.微分可能な関数の例:指数関数
    • 8.微分可能な関数の例:双曲線関数
    • 9.微分可能な関数の例:三角関数
    • 10.逆関数で表される微分可能関数の例
    • 11.微分の定義の補足的注意と例
  • 第8章 最大最小とテイラーの定理
    • 1.ロルの定理と平均値の定理
    • 2.微分可能関数の増減
    • 3.フェルマーの原理
    • 4.最大最小問題と不等式の例
    • 5.コーシーの平均値の定理
    • 6.ド・ロピタルの定理
    • 7.テイラーの公式
    • 8.テイラー展開
    • 9.補遺:ニュートンの方法
  • 第9章 図形に対する微分の応用
    • 1.直線とその傾き
    • 2.直線の傾きと微係数
    • 3.曲線の傾きと微係数
    • 4.円と接線
    • 5.曲率
    • 6.凸関数
  • 第10章 多変数関数と偏微分
    • 1.多変数の連続関数
    • 2.偏微分可能性
    • 3.高階の偏導関数
    • 4.微分可能性と全微分
    • 5.合成関数の微分と微分の幾何的意味
    • 6.高階の微分可能性
    • 7.平均値の定理とテイラーの公式と有限増分の定理
    • 8.陰関数の定理
    • 9.極大極小の条件
    • 10.条件つき極大極小とラグランジュの未定乗数法
  • 第11章 項別微分とベキ級数
    • 1.各点収束と一様収束
    • 2.項別微分
    • 3.ベキ級数と収束半径
    • 4.収束半径の求め方
    • 5.テイラー級数
    • 6.係数比較で微分方程式を解く
  • 第12章 常微分方程式で定まる関数
    • 1.指数関数の場合
    • 2.常微分方程式の解の存在と一意性
    • 3.高階の場合
    • 4.定数係数線形微分方程式
    • 5.1階の場合の反省から
    • 6.定数係数線形微分方程式の基本解
    • 7.指数関数eαxの場合
    • 8.微分方程式y″=−yの解としての三角関数
    • 9.三角関数の周期性とπの定義

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