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目次

  • 第1章 積分への道:「測る」とは
    • 1.数の役割
    • 2.多角形の面積
    • 3.多面体の体積
    • 4.放物線の弓形領域の面積
    • 5.ヒポクラテスの月形
    • 6.円の面積と円周率π
    • 7.α次の放物線と直線で囲まれた領域の面積
  • 第2章 面積関数と不定積分
    • 1.面積関数と原始関数
    • 2.定積分の性質と微積分学の基本定理
    • 3.積分の基本公式
    • 4.関数の偶奇性と周期性
    • 5.基本的な原始関数
    • 6.積分の計算例
  • 第3章 初等関数の不定積分
    • 1.漸化式
    • 2.有理関数の積分
    • 3.部分分数展開
    • 4.部分分数展開の計算例
    • 5.有理関数の積分に帰着する
  • 第4章 定積分の理論的応用
    • 1.積分形の剰余項を持つテイラーの公式
    • 2.対数関数
    • 3.不等式
    • 4.定積分の計算例
    • 5.斬化式
    • 6.ウォリスの公式とスターリングの公式
    • 7.無限大(小)を区別する
  • 第5章 面積再論:図形の不変量
    • 1.平面図形の面積
    • 2.境界が一般な場合と線積分
    • 3.弧長
    • 4.反省:微小要素での積分と変数変換
  • 第6章 空間図形の不変量(多変数関数)
    • 1.空間の円柱座標と極座標
    • 2.空間曲線の弧長
    • 3.空間図形の体積
    • 4.曲面の面積(曲面積)
  • 第7章 重心と慣性モーメントと回転体
    • 1.平均値,曲線の重心
    • 2.空間曲線の重心
    • 3.平面・空間領域の重心
    • 4.三角形の頂点重心と辺重心と面重心
    • 5.慣性モーメント,ポテンシャル
    • 6.回転体と回転面の場合
  • 第8章 2次曲線と2次曲面
    • 1.円錐曲線
    • 2.楕円と(回転)楕円体(面)
    • 3.放物線と回転放物線(面)
    • 4.双曲線と(回転)双曲体(面)
  • 第9章 いろいろな曲線とその微積分
    • 1.カテナリー
    • 2.サイクロイド
    • 3.外サイクロイドと内サイクロイド
    • 4.カージオイド
    • 5.アステロイド
    • 6.デカルトの葉線
    • 7.レムニスケート
    • 8.アルキメデスの螺旋
    • 9.いろいろな問題
  • 第10章 広義積分(無限積分と特異積分)
    • 1.無限積分と特異積分の定義
    • 2.収束に関する基本性質
    • 3.例
    • 4.斬化式
    • 5.コーシーの主値
    • 6.オイラー積分:ガンマ関数とベータ関数
  • 第11章 リーマン積分
    • 1.リーマン積分の定義
    • 2.積分可能な関数
    • 3.平均値の定理,有限増分の定理
    • 4.微積分学の基本定理
    • 5.弧長
    • 6.重積分
    • 7.一様収束性と項別積分
    • 8.積分記号下での微分
    • 9.リーマン積分の弱点を解消するルベーグ積分
  • 第12章 積分法からの旅立ち
    • 1.πをめぐって
    • 2.リーマン−ルベーグの定理
    • 3.ガンマ関数とベータ関数ふたたび
    • 4.楕円積分