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目次

指数定理

指数定理

  • 古田 幹雄(著)
  • 第1章 はじめに
    • §1.1 指数とは
    • §1.2 Atiyah‐Singerの指数定理とは
    • §1.3 1次元の場合
    • 要約
  • 第2章 多様体,ベクトル束,楕円型複体
    • §2.1 コンパクトな台をもつ微分形式とその積分
    • §2.2 多様体とベクトル束の自明な対象への埋め込み
    • §2.3 Clifford加群とDirac型作用素
    • §2.4 幾何に現われる楕円型複体とDirac型作用素
    • 要約
  • 第3章 指数とその局所化
    • §3.1 閉多様体上のDirac型作用素の指数の定義
    • §3.2 開多様体上のDirac型作用素の指数の定義
    • §3.3 切除定理と指数の位相不変性
    • §3.4 Dirac型作用素の積とその指数
    • §3.5 超対称調和振動子とEuclid空間上のde Rham複体
    • 要約
  • 第4章 指数の局所化の例
    • §4.1 Poincaré‐Hopfの定理とMorse不等式
    • §4.2 Riemann面上のRiemann‐Rochの定理
    • §4.3 Riemann面のスピン構造のmod2指数
    • §4.4 群作用がある場合:Lefschetz公式
    • 要約
  • 第5章 Laplace型作用素の固有関数の局所化
    • §5.1 設定
    • §5.2 指数的減衰
    • §5.3 変分法のための準備
    • §5.4 変分法
    • §5.5 固有値と固有関数の変化
    • §5.6 端の上での作用素の改変
    • §5.7 閉多様体の場合:スペクトル分解
    • 要約
  • 第6章 指数定理の定式化と証明
    • §6.1 定式化と証明の方針
    • §6.2 Euclid空間上のペアの構成
    • §6.3 指数の不変性:証明1(積の指数)
    • §6.4 指数の不変性:証明2(切除定理)
    • §6.5 偶数次元Euclid空間上のペア
    • 要約
  • 第7章 特性類
    • §7.1 接続と曲率
    • §7.2 Chern指標とChern類
    • §7.3 Chern指標の局所化
    • §7.4 Thom類とThom同型
    • §7.5 Euler類
    • 要約
  • 第8章 特性類と指数定理
    • §8.1 計量を保つ接続とPontrjagin類
    • §8.2 Clifford加群の特性類
    • §8.3 指数定理の特性類を用いた表示
    • §8.4 幾何学に現われる楕円型複体の指数
    • 要約
  • 第9章 K群と族の指数
    • §9.1 ベクトル空間の差の連続族
    • §9.2 K群
    • §9.3 Dirac型作用素の族の指数
    • §9.4 K群の要素の大域的な表示
    • 要約
  • 第10章 K群と指数定理
    • §10.1 指数定理の証明をK群を用いて記述する
    • §10.2 K理論における積分としての指数
    • §10.3 Bottの周期性定理とK群のThom同型
    • §10.4 Kホモロジー,Kコホモロジー
    • §10.5 Chern指標
    • 要約
  • 第11章 指数の同境不変性と和公式
    • §11.1 設定
    • §11.2 指数の同境不変性(命題11.3)の証明
    • §11.3 例
    • §11.4 同説不変性の精密化
    • §11.5 指数の和公式
    • §11.6 和公式の証明
    • §11.7 スペクトル流
    • 要約
  • 第12章 指数と指数定理の変種
    • §12.1 群作用のある場合:同変指数
    • §12.2 Clifford代数の作用がある場合:mod2指数
    • §12.3 楕円型作用素の族に対する指数定理
    • 要約
  • 第13章 指数定理の応用例
    • §13.1 整数性定理とその応用
    • §13.2 Riemann面上の複素直線束の族
    • §13.3 正のスカラー曲率をもつRiemann計量
    • §13.4 補遺:Weitzenböck公式の証明
    • 要約
  • 第14章 群作用のある場合の応用
    • §14.1 有限群作用と巡回分岐被覆
    • §14.2 Lefschetzの固定点公式
    • §14.3 G符号数定理とその応用
    • §14.4 その他の応用
    • §14.5 指数定理の適用の1つの限界
    • 要約
  • 第15章 奇数次元多様体の不変量
    • §15.1 和公式
    • §15.2 η不変量,符号不足数
    • §15.3 e不変量
    • §15.4 μ不変量
    • §15.5 ρ不変量
    • §15.6 まとめ
    • 要約
  • 今後の方向と課題
    • §1 本書で述べられなかった話題
    • §2 非線形微分方程式
    • §3 指数定理のその後の展開

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