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目次

応用解析ハンドブック

応用解析ハンドブック

  • 増田 久弥(編集)
  • 第Ⅰ部 基礎編
  • 第1章 関数解析の基礎
    • 1.0 関数解析について
    • 1.1 ノルム空間・Banach空間・Hilbert空間
    • 1.2 商空間
    • 1.3 線形作用素
    • 1.4 有界作用素の摂動
    • 1.5 有界線形汎関数
    • 1.6 一様有界性原理,開写像定理,Hahn−Banachの定理
    • 1.7 線形Fredholm作用素
    • 1.8 Banach空間に値をもつ関数の微分と積分
    • 1.9 線形作用素のスペクトル
  • 第2章 半群の理論:Hille−吉田の定理
    • 2.1 半群とは
    • 2.2 Hille−吉田の半群理論
    • 2.3 Hille−吉田の定理の証明
    • 2.4 非同次微分方程式
    • 2.5 正則半群
    • 2.6 発展方程式
  • 第3章 非線形写像の微分法
    • 3.1 微分と導関数について
    • 3.2 非線形写像
    • 3.3 Fréchet微分とGâteaux微分
    • 3.4 微分の性質:和の公式,連鎖律,積の微分の公式
    • 3.5 高階微分
    • 3.6 Taylorの公式
    • 3.7 偏微分
  • 第4章 4つの基本的な不動点定理
    • 4.0 不動点定理について
    • 4.1 Brouwerの不動点定理
    • 4.2 Schauderの不動点定理
    • 4.3 Banachの不動点定理(縮小写像の原理)
    • 4.4 順序集合上での不動点定理:Bourbaki−Kneserの不動点定理
    • 4.5 Amannの順序集合上の不動点定理
    • 4.6 一般化されたAscoliの定理
  • 第5章 不動点定理のいくつかの応用
    • 5.1 常微分方程式の解の存在(Picard−Lindelöfの定理)
    • 5.2 微分方程式の解の存在(Peanoの定理)
    • 5.3 古典的陰関数定理
    • 5.4 接線錐に関するLyusternikの定理
  • 第6章 分岐理論の基本
    • 6.0 解の分岐とは
    • 6.1 解の分岐
    • 6.2 Lyapunov−Schmidtの還元理論
    • 6.3 単純固有値からの分岐
    • 6.4 Krasenoselskiの結果
    • 6.5 Hopf分岐
    • 6.6 自励系常微分方程式に対するHopf分岐
  • 第7章 汎関数の極値問題
    • 7.0 極値について
    • 7.1 汎関数の最小化
    • 7.2 制約条件の下での極値
    • 7.3 下半連続性と凸性
    • 7.4 Palais−Smale条件とEkelandの変分原理
    • 7.5 Morseの変形の補題
    • 7.6 ミニマックス原理,峠の定理
    • 7.7 Morseの補題の証明
  • 第8章 多価写像の不動点定理とその応用
    • 8.0 多価写像と不動点定理について
    • 8.1 多価写像
    • 8.2 多価写像に対するBanachの不動点定理
    • 8.3 角谷の不動点定理とその一般化
    • 8.4 変分不等式
    • 8.5 Browderの不動点定理
    • 8.6 von Neumann−Fanのミニマックスの定理
    • 8.7 ゲーム理論と鞍点定理
    • 8.8 Walras均衡に関する数理経済学の基本定理
    • 8.9 非協力ゲームに対するNashの主定理
    • 8.10 付録 線形位相空間の用語集
  • 第9章 有限差分法に対する基礎理論
    • 9.0 有限差分とは
    • 9.1 離散化
    • 9.2 差分法に関するLaxの同値定理
  • 第10章 方程式の解の近似:Newton法
    • 10.0 Newton近似について
    • 10.1 Newton−Kantorovichの定理
    • 10.2 簡易Newton法
    • 10.3 ホモトピー法
    • 10.4 区間解析(1次元の場合)
  • 第Ⅱ部 応用編
  • 第1章 調和解析とその応用
    • 1.1 Fourier級数とFourier変換をめぐって
    • 1.2 振動積分とその応用
    • 1.3 特異積分とその応用
    • 1.4 調和解析,多変数複素解析,偏微分方程式の接点
    • 1.5 確率論的な調和解析とその応用
  • 第2章 ウェーブレット解析とその応用
    • 2.1 はじめに
    • 2.2 Fourier級数とFourier変換
    • 2.3 連続ウェーブレット変換
    • 2.4 枠,Riesz基底
    • 2.5 離散ウェーブレット
    • 2.6 ウェーブレットをめぐって
  • 第3章 粘性解の理論と応用
    • 3.1 粘性解の定義
    • 3.2 最大値原理
    • 3.3 粘性解の存在
    • 3.4 粘性解の連続性と微分可能性
    • 3.5 粘性解の意味での境界値問題
    • 3.6 いくつかの応用
    • 3.7 無限次元空間上の粘性解
    • 3.8 補足
  • 第4章 界面ダイナミクス−曲率の効果
    • 4.1 はじめに
    • 4.2 界面支配モデルの種々の例
    • 4.3 自己交又の発生,凸性の消失,順序非保存
    • 4.4 退化放物性・強い放物性
    • 4.5 むすび
  • 第5章 楕円型方程式
    • 5.1 弱解の正則性
    • 5.2 Hardy空間とBMO
  • 第6章 Navier−Stokes方程式
    • 6.1 Navier−Stokes方程式
    • 6.2 定常問題
    • 6.3 非定常問題
    • 6.4 結びにかえて
  • 第7章 双曲型保存則系と衝撃波
    • 7.1 保存則系
    • 7.2 双曲系
    • 7.3 Riemann問題
    • 7.4 エントロピー
    • 7.5 大域解の存在
    • 7.6 諸結果
  • 第8章 Schrödinger方程式
    • 8.1 量子力学とSchrödinger方程式
    • 8.2 自己共役問題と解の存在・一意性
    • 8.3 解の存在と一意性Ⅱ
    • 8.4 基本解の滑らかさと有界性
    • 8.5 スペクトルと解の時間発展
    • 8.6 散乱理論Ⅰ,二体問題
    • 8.7 散乱理論Ⅱ,N体問題