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目次

物理学の数理 ニュートン力学から量子力学まで

物理学の数理 ニュートン力学から量子力学まで (量子数理シリーズ)

  • 新井 朝雄(著)/ 荒木 不二洋(監修)/ 大矢 雅則(監修)
  • 第1章 ニュートン力学
    • 1.1 運動の概念
    • 1.2 力の概念と例
    • 1.3 ニュートンの運動方程式
    • 1.4 状態,相空間,因果律
    • 1.5 接バンドルとしての状態空間
    • 1.6 2点系
    • 1.7 N点系
    • 1.8 運動方程式からの一般的帰結
    • 1.9 多体系における保存則
    • 1.10 角運動量
    • 1.11 面積速度
    • 1.12 多体系における角運動量保存則
    • 1.13 万有引力による運動−惑星の運動への応用
    • 1.14 物理量と保存量の一般概念
    • 1.15 ニュートン力学における対称性
    • 1.16 ニュートン力学的時間と空間の源
    • 1.17 ニュートン方程式のガリレイ不変性
  • 第2章 変分原理とラグランジュ形式
    • 2.1 数学的準備
    • 2.2 汎関数の変分
    • 2.3 変分原理
    • 2.4 ラグランジュ関数に同伴する保存量
    • 2.5 オイラー−ラグランジュ方程式の座標表示
    • 2.6 オイラー−ラグランジュ方程式としてのニュートンの運動方程式
    • 2.7 停留曲線が極小曲線となる十分条件
    • 2.8 循環座標と保存則
    • 2.9 オイラー−ラグランジュ方程式の拡張
    • 2.10 対称性と保存則
    • 2.11 拘束系
  • 第3章 力学のハミルトン形式
    • 3.1 1点系におけるハミルトニアンとハミルトン方程式
    • 3.2 ハミルトン方程式の一般化(Ⅰ)
    • 3.3 ハミルトン相流
    • 3.4 自励系における体積の時間変化
    • 3.5 リウヴィルの定理と再帰定理
    • 3.6 ハミルトン方程式の一般化(Ⅱ)
    • 3.7 ラグランジュ形式との関連
    • 3.8 N体系のハミルトン方程式の単一化と余接バンドル
    • 3.9 ハミルトン形式の普遍的定式化
    • 3.10 シンプレクティック対称性
  • 第4章 特殊相対性理論
    • 4.1 ミンコフスキー空間
    • 4.2 ミンコフスキー基底とローレンツ行列
    • 4.3 線形座標系とローレンツ座標系
    • 4.4 特殊相対性理論における時間と空間の発現
    • 4.5 ベクトルの分類
    • 4.6 時間的ベクトルの基本的性質
    • 4.7 分解定理
    • 4.8 ローレンツ写像群
    • 4.9 ミンコフスキー時空における質点の運動
    • 4.10 時間的運動と固有時
    • 4.11 ローレンツ座標系での表示
    • 4.12 時計の遅れ
    • 4.13 運動方程式
    • 4.14 エネルギーの現れと非相対論的極限
    • 4.15 静止座標系
    • 4.16 多体系における全(d+1)次元運動量保存則
    • 4.17 (d+1)次元的力場の一つのクラスと運動方程式
    • 4.18 変分原理
    • 4.19 変分原理のローレンツ座標系での表示
    • 4.20 固有時反転と負のエネルギー
    • 4.21 光的運動と空間的運動
  • 第5章 古典電磁気学
    • 5.1 はじめに
    • 5.2 電磁ポテンシャルと古典電磁気学の基礎方程式
    • 5.3 ローレンツ座標系での基礎方程式の表示
    • 5.4 電磁ポテンシャルに対する方程式の解
    • 5.5 電磁場テンソル
    • 5.6 電場と磁場の発現およびマクスウェル方程式の導出
    • 5.7 電場と磁場からつくられるスカラー不変量
    • 5.8 電磁場と相互作用する荷電粒子の運動方程式
    • 5.9 変分原理
    • 5.10 ゲージ対称性
    • 5.11 ゲージ条件
    • 5.12 荷電粒子と電磁場の相互作用系
  • 第6章 古典場の理論
    • 6.1 はじめに
    • 6.2 古典場の統一的記述形式
    • 6.3 変分原理(Ⅰ)−実場の場合
    • 6.4 変分原理(Ⅱ)−複素場の場合
    • 6.5 場の共役運動量とハミルトニアン
    • 6.6 対称性と保存則
    • 6.7 複素場と電磁場の相互作用−ゲージ場の理論
  • 第7章 量子力学
    • 7.1 はじめに
    • 7.2 量子力学の公理系
    • 7.3 物理量の非可換性と不確定性関係
    • 7.4 複数の物理量の測定に関する公理
    • 7.5 量子系の自由度−有限自由度と無限自由度
    • 7.6 正準交換関係の表現
    • 7.7 角運動量代数
    • 7.8 ハミルトニアンの固有値問題が正確に解ける例:量子調和振動子
    • 7.9 CCRの表現に関する同値性の概念
    • 7.10 CCRの直和表現,可約性,既約性
    • 7.11 CCRのヴァイル表現
    • 7.12 スピン角運動量と内部自由度
    • 7.13 合成系の状態空間と物理量
    • 7.14 同種の量子的粒子の不可弁別性と統計性
    • 7.15 無限粒子系
    • 7.16 ハミルトニアンの一般的特性
    • 7.17 代数的定式化
  • 付録A 写像と同値関係
    • A.1 写像の全単射性に関する条件
    • A.2 同値関係と同値類
  • 付録B 代数的構造
    • B.1 群
    • B.2 変換群
    • B.3 リー代数
    • B.4 結合的代数
  • 付録C ベクトル空間とアファイン空間
    • C.1 基底と線形座標系
    • C.2 基底の変換と座標変換
    • C.3 線形作用素
    • C.4 線形作用素の行列表示
    • C.5 ベクトル空間の同型
    • C.6 トレースと行列式
    • C.7 固有値と固有ベクトル
    • C.8 双対空間
    • C.9 アファイン空間
  • 付録D 計量ベクトル空間と計量アファイン空間
    • D.1 ベクトル空間の計量
    • D.2 計量ベクトル空間の同型
    • D.3 直交系
    • D.4 計量ベクトル空間の直和
    • D.5 計量アファイン空間
    • D.6 表現定理
    • D.7 有限次元計量ベクトル空間における共役作用素
    • D.8 ヒルベルト空間
    • D.9 ベクトル場の連続性
    • D.10 有限次元の不定計量ベクトル空間の位相
  • 付録E ベクトル解析
    • E.1 曲線
    • E.2 曲線の積分
    • E.3 曲線の長さ
    • E.4 スカラー場
    • E.5 ベクトル場,発散,ラプラシアン
    • E.6 無発散ベクトル場と保存則
    • E.7 有限次元実内積空間における積分
  • 付録F テンソル積
    • F.1 定義
    • F.2 対称テンソルと反対称テンソル
    • F.3 反対称的内部積
    • F.4 行列式の本質的特徴づけ
    • F.5 ベクトル空間の向き
    • F.6 テンソル空間の計量
    • F.7 ホッジのスター作用素
    • F.8 3次元ユークリッドベクトル空間におけるベクトル積と回転
    • F.9 外積の微分法
  • 付録G 微分形式の理論
    • G.1 微分形式と外微分作用素
    • G.2 微分形式に同伴する反対称反変テンソル場
    • G.3 余微分作用素
    • G.4 ラプラス−ベルトラミ作用素
  • 付録H ポアソン方程式と非斉次波動方程式
    • H.1 ポアソン方程式
    • H.2 非斉次波動方程式
  • 付録I ヒルベルト空間における線形作用素
    • I.1 線形作用素
    • I.2 拡大と閉作用素
    • I.3 レゾルヴェントとスペクトル
    • I.4 共役作用素
    • I.5 対称作用素と自己共役作用素
    • I.6 スペクトル測度,作用素解析,スペクトル定理
    • I.7 自己共役作用素の強可換性