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目次

  • 第Ⅰ部
  • 第1章 線型代数とは何か?
    • 1.1 数ベクトル空間Rn
    • 1.2 関数空間F
    • 1.3 直線の方程式
  • 第2章 群の概念
    • 2.1 正三角形の合同群
    • 2.2 アミダくじ
    • 2.3 一次分数変換の群
    • 2.4 群の定義
    • 2.5 単位元の存在
    • 2.6 逆元の存在
    • 2.7 単位元,逆元の一意性
    • 2.8 線型空間と群
  • 第3章 行列
    • 3.1 行列の概念
    • 3.2 行列の和とスカラー倍
    • 3.3 行列の積
    • 3.4 和と積の関係
    • 3.5 積の結合法則
    • 3.6 単位行列
    • 3.7 正則行列
    • 3.8 転置行列
    • 3.9 行列による複素数体の構成
  • 第4章 線型空間
    • 4.1 線型空間の簡単な性質
    • 4.2 線型空間の例
    • 4.3 部分空間
    • 4.4 C(I)の部分空間
    • 4.5 数列の空間の部分空間
  • 第5章 線型写像
    • 5.1 線型写像の例
    • 5.2 核と像
    • 5.3 写像に関する集合論用語の復習
  • 第6章 独立と従属
    • 6.1 線型結合と部分空間の生成
    • 6.2 線型空間の元の従属と独立
    • 6.3 有限生成の線型空間
    • 6.4 線型空間の基底
    • 6.5 有限生成線型空間の基底の存在
    • 6.6 基底の特長づけ
  • 第7章 線形空間の次元
    • 7.1 部分空間の直和
  • 第8章 線型写像と行列
    • 8.1 座標系の導入
    • 8.2 座標変換
    • 8.3 線型写像の行列表示
  • 第9章 線型写像の階数
    • 9.1 線型写像の階数
    • 9.2 行列の階数
    • 9.3 行列の基本変形
  • 第10章 置換とその符号
    • 10.1 置換の符号
    • 10.2 置換と行列
  • 第11章 行列式
    • 11.1 関数としての行列式
    • 11.2 行列式の例
  • 第12章 連立一次方程式の解法
    • 12.1 解の存在条件
    • 12.2 クラメルの公式
    • 12.3 係数行列Aの基本変形との関係
    • 12.4 LR分解
  • 第13章 内積空間
    • 13.1 線型空間の内積
    • 13.2 コーシー−シュワルツの不等式
    • 13.3 ノルムの性質
    • 13.4 角の定義と直交関係
    • 13.5 正規直交系
    • 13.6 直交変換
    • 13.7 直交群
  • 第14章 固有値と固有ベクトル
    • 14.1 固有値,固有ベクトル,固有部分空間
    • 14.2 特性多項式
    • 14.3 対角化の例
    • 14.4 写像の三角化
    • 14.5 内積空間の場合
  • 第15章 ガウスのアルゴリズム
    • 15.1 逆行列の計算方法
  • 第Ⅱ部
  • 第16章 線型代数と幾何学
    • 16.1 幾何学の流れと線型代数
  • 第17章 複素数
    • 17.1 共役複素数,絶対値
    • 17.2 複素指数関数とオイラーの公式
    • 17.3 代数学の基本定理
    • 17.4 リーマン球と立体射影
    • 17.5 リーマン球の回転と複素平面の一次分数変換
  • 第18章 商空間,双対空間
    • 18.1 商空間
    • 18.2 双対空間
  • 第19章 ユニタリ空間
    • 19.1 ユニタリ空間の定義と簡単な性質
    • 19.2 ユニタリ変換,ユニタリ群
    • 19.3 共役変換
    • 19.4 正規行列の対角化
  • 第20章 線型写像の分類(Ⅰ)
    • 20.1 線型写像の同値,行列の共役(相似)
    • 20.2 ジョルダンの標準形
    • 20.3 一般固有空間への分解
  • 第21章 線型写像の分類(Ⅱ)
    • 21.1 巾零変換の標準形
    • 21.2 ジョルダン標準形の計算例
  • 第22章 二次形式
    • 22.1 問題の設定
    • 22.2 二次形式と対称行列
    • 22.3 主軸変換
    • 22.4 シルヴェスターの慣性律
  • 第23章 二次曲線,二次曲面
    • 23.1 二次超曲面の標準形
    • 23.2 平面二次曲線の分類
    • 23.3 空間での二次曲面
    • 23.4 円錐曲線
  • 第Ⅲ部
  • 第24章 ローレンツ群の幾何学
    • 24.1 ローレンツ群O(1,2)
    • 24.2 ローレンツ群の作用する二次曲面
    • 24.3 SL2(R)との関係
    • 24.4 SO0(1,2)の単位円板上の作用
  • 第25章 シンプレクティク群の幾何学
    • 25.1 交代双線型形式
    • 25.2 シンプレクティク基底
    • 25.3 シンプレクティク群Sp(n,R)
    • 25.4 Sp(n,R)の部分群K,A,N
    • 25.5 Sp(n,R)とジーゲル上半空間Sn
    • 25.6 正定値対称行列についての補足
    • 25.7 ジーゲルの上半空間Snの定義
  • 第26章 非負行列とフロベニウスの定理
    • 26.1 非負行列,非負ベクトル
    • 26.2 確率行列
    • 26.3 正行列のフロベニウス根
  • 第27章 線型不等式
    • 27.1 凸集合,凸錐,有限錐
    • 27.2 双対錐(dual cone)
    • 27.3 シュティエムケの定理
    • 27.4 ミンコフスキー−ファルカスの定理
    • 27.5 連立線型不等式の解集合の構造
  • 第28章 線型計画法
    • 28.1 線型計画法の双対定理
    • 28.2 ミニ・マックス問題への応用
  • 第29章 誤り訂正符号理論
    • 29.1 ハミング距離と符号の最小間隔
    • 29.2 線型符号
    • 29.3 双対符号
    • 29.4 Golay符号
  • 第30章 古典群
    • 30.1 古典的な基礎体R,C,H
    • 30.2 非可換体F上の右線型空間
    • 30.3 行列による表示
    • 30.4 F=Hの場合
    • 30.5 特殊線型群SLn(F)
    • 30.6 エルミット形式とその直交群