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目次

講座数学の考え方 新版 13 ルベーグ積分と関数解析

講座数学の考え方 新版 13 ルベーグ積分と関数解析

  • 飯高 茂(ほか編集)/ 谷島 賢二(著)
  • 1.ルベーグ積分の考え方
    • 1.1 リーマン積分
    • 1.2 リーマン可積分性と連続性
    • 1.3 広義積分
    • 1.4 リーマン積分からルベーグ積分へ
    • 1.5 ルベーグのアイデア
    • 1.6 σ‐代数と測度
    • 練習問題
  • 2.1次元ルベーグ測度
    • 2.1 ルベーグ外測度
    • 2.2 ルベーグ可測集合
    • 2.3 定理2.6,定理2.7の証明
    • 2.4 測度の基本性質
    • 2.5 ルベーグ測度の正則性
    • 練習問題
  • 3.ルベーグ可測関数
    • 3.1 ルベーグ可測関数の定義
    • 3.2 可測関数の収束極限
    • 3.3 単関数と可測関数の単関数による近似
    • 3.4 可測関数の階段関数,連続関数による近似
    • 3.5 エゴロフの定理
    • 練習問題
  • 4.ルベーグ積分
    • 4.1 ルベーグ積分の定義
    • 4.2 単関数の積分
    • 4.3 単調収束定理とファトゥの補題
    • 4.4 単関数による積分の近似
    • 4.5 積分の線形性と単調性
    • 4.6 変数変換公式
    • 4.7 ルベーグの収束定理とその応用
    • 4.8 積分の強絶対連続性
    • 練習問題
  • 5.微分と積分の関係
    • 5.1 ビタリの被覆定理
    • 5.2 単調関数の微分
    • 5.3 有界変動関数
    • 5.4 積分の微分
    • 5.5 絶対連続性
    • 練習問題
  • 6.ルベーグ積分の抽象論
    • 6.1 測度空間
    • 6.2 可測関数
    • 6.3 一般の測度空間上の可測関数の積分
    • 練習問題
  • 7.測度空間の構成と拡張定理
    • 7.1 外測度とカラテオドリーの定理
    • 7.2 前測度とジョルダン測度
    • 7.3 ルベーグ・スティルチェス測度
    • 7.4 直積測度
    • 7.5 n次元ルベーグ測度の正則性
    • 7.6 フビニ・トネリの定理
    • 練習問題
  • 8.符号付き測度
    • 8.1 符号付き測度の例
    • 8.2 ジョルダン分解とハーン分解
    • 8.3 ラドン・ニコディムの定理とルベーグ分解
    • 練習問題
  • 9.ノルム空間とバナッハ空間
    • 9.1 ノルム空間
    • 9.2 バナッハ空間
    • 9.3 有界線形作用素
    • 9.4 ベクトル値関数の微分と積分
    • 9.5 ベールの範疇定理,一様有界性定理,開写像定理
    • 練習問題
  • 10.ルベーグ空間とソボレフ空間
    • 10.1 LP空間
    • 10.2 ルベーグ空間LP(Ω)
    • 10.3 積分作用素
    • 10.4 ノルム空間の完備化
    • 10.5 ソボレフ空間
    • 練習問題
  • 11.ヒルベルト空間
    • 11.1 内積空間とヒルベルト空間
    • 11.2 直交射影
    • 11.3 完全正規直交系
    • 11.4 ヒルベルト空間の直和空間
    • 11.5 フーリエ級数
    • 練習問題
  • 12.双対空間
    • 12.1 ヒルベルト空間の双対空間
    • 12.2 負の指数のソボレフ空間と超関数
    • 12.3 LP空間の双対空間
    • 12.4 C(X)の双対空間,リース・マルコフの定理
    • 12.5 汎弱位相
    • 12.6 リースの表現定理の偏微分方程式への応用
    • 練習問題
  • 13.ハーン・バナッハの定理・弱位相
    • 13.1 ハーン・バナッハの定理
    • 13.2 分離定理
    • 13.3 弱位相・弱収束
    • 練習問題
  • 14.フーリエ変換
    • 14.1 補間定理といくつかの積分不等式
    • 14.2 フーリエ変換
    • 14.3 シュワルツ超関数とそのフーリエ変換
    • 14.4 熱伝導方程式,作用素の半群
    • 14.5 シュレーディンガー方程式
    • 練習問題
  • 15.非有界作用素
    • 15.1 閉作用素と閉グラフ定理
    • 15.2 共役作用素
    • 15.3 閉値域定理
    • 練習問題
  • 16.レゾルベントとスペクトル
    • 16.1 ベクトル値関数
    • 16.2 レゾルベント
    • 16.3 スペクトルの分離
    • 16.4 スペクトルの孤立点
    • 16.5 共役作用素のスペクトル
    • 練習問題
  • 17.コンパクト作用素とそのスペクトル
    • 17.1 コンパクト作用素
    • 17.2 レーリッヒのコンパクト性定理
    • 17.3 リース・シャウダーの定理
    • 17.4 ヒルベルト空間のコンパクト作用素
    • 17.5 楕円型作用素のスペクトル
    • 練習問題
  • 18.自己共役作用素のスペクトル分解
    • 18.1 有界自己共役作用素のスペクトル表現
    • 18.2 射影値測度と射影値測度による積分
    • 18.3 有界自己共役作用素のスペクトル分解
    • 18.4 可換な有界自己共役作用素の同時対角化
    • 18.5 正規作用素の同時スペクトル表現・スペクトル分解
    • 18.6 非自己共役作用素のスペクトル分解
    • 18.7 ストーンの公式
    • 練習問題