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目次

共立講座数学の輝き 3 スペクトル幾何

共立講座数学の輝き 3 スペクトル幾何

  • 新井 仁之(ほか編)/ 浦川 肇(著)
  • 第1章 リーマン幾何学の基礎事項
    • 1.1 リーマン多様体
    • 1.2 接続
    • 1.3 曲率テンソル
    • 1.4 積分
    • 1.5 ベクトル場の発散とラプラシアン
    • 1.6 微分形式のラプラシアン
    • 1.7 曲線の長さの第1変分公式と第2変分公式
  • 第2章 リーマン計量の空間と固有値の連続性
    • 2.1 実対称行列の固有値
    • 2.2 リーマン計量全体の空間
    • 2.3 固有値の連続性と重複度の上半連続性
    • 2.4 固有値の一般的性質
  • 第3章 最小正固有値のチーガーとヤウの評価
    • 3.1 本章における主たる結果
    • 3.2 co‐area公式
    • 3.3 定理3.4,3.5と系3.6の証明
    • 3.4 定理3.7の証明
    • 3.5 ヤコビ場と比較定理
  • 第4章 第k固有値の評価とリヒネロヴィッツ・小畠の定理
    • 4.1 R.クーラントの節領域定理
    • 4.2 第k固有値の上からの評価
    • 4.3 リヒネロヴィッツ・小畠の定理
  • 第5章 ディリクレ固有値のペイン・ポリヤ・ワインバーガー型不等式
    • 5.1 本章の主な結果
    • 5.2 予備的なL2評価
    • 5.3 チェン・ヤンの定理と系
    • 5.4 定理5.6の証明のための基礎的準備
    • 5.5 定理5.6の証明
  • 第6章 熱方程式と閉測地線の長さの集合
    • 6.1 1次元サークル上の熱方程式
    • 6.2 モース理論からの準備
    • 6.3 複素熱方程式の基本解
    • 6.4 擬フーリエ変換
    • 6.5 主定理
    • 6.6 複素熱方程式の基本解のもつ性質
    • 6.7 鞍部点法(停留位相法)
    • 6.8 3つの補題
    • 6.9 主定理6.23の証明
  • 第7章 負曲率多様体とスペクトル剛性定理
    • 7.1 ギルミン−カズダンらによるスペクトル剛性定理
    • 7.2 証明の方針
    • 7.3 測地流ベクトル場
    • 7.4 リヴシックの定理の証明
    • 7.5 調和多項式の空間と直交群の実表現論
    • 7.6 対称テンソル場の空間上の楕円型作用素
    • 7.7 主定理7.10の証明
    • 7.8 残された3つの補題の証明
    • 7.9 スペクトル剛性定理7.1の証明