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目次

ルベーグ積分 理論と計算手法

ルベーグ積分 理論と計算手法

  • 岩田 耕一郎(著)
  • 第1章 ルベーグが考えた積分
    • 1.1 複雑な関数の積分
    • 1.2 ルベーグの視点
    • 1.3 測度に基づく積分
    • 1.4 何ができるようになるか
    • 1.5 まとめ
  • 第2章 積分の定義と性質
    • 2.1 積分の定義
    • 2.2 σ−加法族の性質と可測性
    • 2.3 単関数の積分
    • 2.4 可測関数の積分
    • 2.5 単調収束定理
    • 2.6 ルベーグの収束定理
    • 2.7 まとめ
  • 第3章 測度0の集合
    • 3.1 ほとんどいたるところ
    • 3.2 零集合と収束定理
    • 3.3 L1空間の完備性
  • 第4章 1次元ルベーグ積分
    • 4.1 1次元区間上の積分と原始関数
    • 4.2 1次元区間上の積分と部分積分
    • 4.3 1次元区間上の積分と変数変換
    • 4.4 1次元区間上の積分の活用
  • 第5章 ルベーグ測度の構成
    • 5.1 有限加法的測度と,それが誘導する外測度
    • 5.2 カラテオドリの外測度と可測集合
    • 5.3 ルベーグ測度の存在
    • 5.4 ルベーグ−スティルチェス測度と密度関数
    • 5.5 1次元ルベーグ積分と平行移動
  • 第6章 測度の一意性と直積測度
    • 6.1 拡張の一意性とその応用
    • 6.2 直積測度としての2次元ルベーグ測度
    • 6.3 ディンキン族定理と直積測度
    • 6.4 ディンキン族定理の応用
  • 第7章 フビニの定理
    • 7.1 単調収束定理とフビニ−トネリの定理
    • 7.2 ガンマ関数とその応用
    • 7.3 フビニの定理とその応用
    • 7.4 ベクトル解析と調和関数
  • 第8章 フーリエ級数とフーリエ変換
    • 8.1 フーリエ級数とアーベル総和法
    • 8.2 フーリエ逆変換公式
    • 8.3 局所的性質と大域的性質
  • 第9章 符号付き測度と部分積分
    • 9.1 符号付き有限加法的測度
    • 9.2 ジョルダン−ハーンの分解定理
    • 9.3 ルベーグ−ラドン−ニコディムの定理
    • 9.4 符号付き測度による積分
    • 9.5 有界変動関数と符号付き測度
    • 9.6 部分積分が開く世界
  • 付録
    • A.1 実数に関する補足
    • A.2 初等関数

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