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目次

曲面の数学 ユークリッド幾何からタイヒミュラー空間まで

曲面の数学 ユークリッド幾何からタイヒミュラー空間まで

  • R.E.シュワルツ(著)/ 関沢正躬(訳)
  • 第1章 この本の概要
    • 1.1 注目,トーラス!
    • 1.2 多角形の貼り合わせ
    • 1.3 曲面上に線を描くこと
    • 1.4 被覆空間
    • 1.5 双曲幾何学と八角形
    • 1.6 複素解析とリーマン面
    • 1.7 錐面と移動曲面
    • 1.8 モジュラー群とヴィーチ群
    • 1.9 モジュライ空間
    • 1.10 デザート
  • 第Ⅰ部 曲面と位相
  • 第2章 曲面の定義
    • 2.1 集合に関するひとこと
    • 2.2 距離空間
    • 2.3 開集合と閉集合
    • 2.4 連続写像
    • 2.5 位相同型
    • 2.6 コンパクト性
    • 2.7 曲面
    • 2.8 多様体
  • 第3章 貼り合わせによる構成
    • 3.1 空間を貼り合わせる
    • 3.2 実際に行なう貼り合わせの構成
    • 3.3 曲面の分類
    • 3.4 オイラーの特性数
  • 第4章 基本群
    • 4.1 群への入門
    • 4.2 ホモトピー同値
    • 4.3 基本群
    • 4.4 基点の変更
    • 4.5 関手性
    • 4.6 いくつかの第一歩
  • 第5章 基本群の例
    • 5.1 回転数
    • 5.2 円周
    • 5.3 代数学の基本定理
    • 5.4 トーラス
    • 5.5 2次元球面
    • 5.6 射影平面
    • 5.7 レンズ空間
    • 5.8 ポアンカレーのホモロジー球面
  • 第6章 被覆空間とデッキ群
    • 6.1 被覆空間
    • 6.2 デッキ群
    • 6.3 平坦なトーラス
    • 6.4 さらなる例
    • 6.5 単連結空間
    • 6.6 同型定理
    • 6.7 ボルツァーノ−ワイエルシュトラウスの定理
    • 6.8 引き上げの性質
    • 6.9 同型定理の証明
  • 第7章 普遍被覆の存在
    • 7.1 主要な結果
    • 7.2 被覆の性質
    • 7.3 単連結性
  • 第Ⅱ部 曲面と幾何
  • 第8章 ユークリッド幾何
    • 8.1 ユークリッド空間
    • 8.2 ピタゴラスの定理
    • 8.3 X定理
    • 8.4 ピックの定理
    • 8.5 多角形分解定理
    • 8.6 線積分
    • 8.7 多角形に対するグリーンの定理
  • 第9章 球面幾何
    • 9.1 計量と接平面と等長変換
    • 9.2 測地線
    • 9.3 測地3角形
    • 9.4 凸性
    • 9.5 立体射影
    • 9.6 毛で覆われた球の定理
  • 第10章 双曲幾何
    • 10.1 一次分数変換
    • 10.2 円周を保存する性質
    • 10.3 上半平面モデル
    • 10.4 もうひとつの視点
    • 10.5 対称変換
    • 10.6 測地線
    • 10.7 円板モデル
    • 10.8 測地多角形
    • 10.9 等長変換の分類
  • 第11章 曲面上のリーマン計量
    • 11.1 平面上の曲線
    • 11.2 平面上のリーマン計量
    • 11.3 微分同型と等長変換
    • 11.4 アトラスとなめらかな曲面
    • 11.5 なめらかな曲線と接平面
    • 11.6 リーマンの曲面
  • 第12章 双曲面
    • 12.1 定義
    • 12.2 貼り合わせの手法
    • 12.3 貼り合わせの手法が曲面をもたらす
    • 12.4 いくつかの例
    • 12.5 測地三角形分割
    • 12.6 リーマン被覆
    • 12.7 アダマールの定理
    • 12.8 双曲被覆
  • 第Ⅲ部 曲面と複素解析
  • 第13章 複素解析の初歩
    • 13.1 基本的な定義
    • 13.2 コーシーの定理
    • 13.3 コーシーの積分公式
    • 13.4 微分可能性
    • 13.5 最大値原理
    • 13.6 除去可能な特異点
    • 13.7 級数
    • 13.8 テイラー級数
  • 第14章 円板および平面剛性
    • 14.1 円板剛性
    • 14.2 リューヴィユの定理
    • 14.3 立体射影再訪
  • 第15章 シュヴァルツ−クリストフェル変換
    • 15.1 基本的な構成
    • 15.2 逆関数定理
    • 15.3 定理15.1の証明
    • 15.4 可能性の領域
    • 15.5 領域の不変性
    • 15.6 存在証明
  • 第16章 リーマン面と一意化
    • 16.1 リーマン面
    • 16.2 リーマン面の間の写像
    • 16.3 リーマン写像定理
    • 16.4 一意化定理
    • 16.5 小ピカール定理
    • 16.6 コンパクト曲面に対する関連事項
  • 第Ⅳ部 平坦な錐面
  • 第17章 平坦な錐面
    • 17.1 扇形とユークリッド錐
    • 17.2 ユークリッド錐面
    • 17.3 ガウス−ボネの定理
    • 17.4 移動曲面
    • 17.5 ビリヤードと移動曲面
    • 17.6 移動曲面上の特別な写像
    • 17.7 周期的なビリヤードの道の存在
  • 第18章 移動曲面とヴィーチ群
    • 18.1 アファイン同型
    • 18.2 微分表現
    • 18.3 双曲群作用
    • 18.4 定理18.1の証明
    • 18.5 三角形群
    • 18.6 線型鏡映と双曲鏡映
    • 18.7 注目,二重8角形
  • 第Ⅴ部 曲面の全体性
  • 第19章 連分数
    • 19.1 ガウス関数
    • 19.2 連分数
    • 19.3 ファレイグラフ
    • 19.4 モジュラー群の構造
    • 19.5 連分数とファレイ群
    • 19.6 無理数の場合
  • 第20章 タイヒミュラー空間とモジュライ空間
    • 20.1 平行4辺形
    • 20.2 平坦なトーラス
    • 20.3 モジュラー群再訪
    • 20.4 モジュライ空間
    • 20.5 タイヒミュラー空間
    • 20.6 写像類群
  • 第21章 タイヒミュラー空間の位相
    • 21.1 パンツ
    • 21.2 パンツ分解
    • 21.3 特別な写像と組
    • 21.4 証明の終了
  • 第Ⅵ部 デザート
  • 第22章 バナッハ−タルスキーの定理
    • 22.1 結果
    • 22.2 シュレーダー−ベルンシュタインの定理
    • 22.3 倍化定理
    • 22.4 取り尽くされた球体
    • 22.5 取り尽くされた球体定理
    • 22.6 単射準同型
  • 第23章 デーンの分解定理
    • 23.1 結果
    • 23.2 二面角
    • 23.3 無理性の証明
    • 23.4 有理ベクトル空間
    • 23.5 デーン不変量
    • 23.6 均整のとれた分解
    • 23.7 証明
  • 第24章 コーシーの剛性定理
    • 24.1 主な結果
    • 24.2 双対グラフ
    • 24.3 証明の概要
    • 24.4 補題24.3の証明
    • 24.5 補題24.2の証明
    • 24.6 ユークリッド的な直観は機能しない
    • 24.7 コーシーの腕補題の証明