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目次

多様体への道

多様体への道 (大学数学スポットライト・シリーズ)

  • 榎本 一之(著)/ 矢部 博(編集幹事)/ 伊藤 浩行(編集幹事)/ 大矢 雅則(編集幹事)/ 眞田 克典(編集幹事)/ 立川 篤(編集幹事)/ 新妻 弘(編集幹事)/ 古谷 賢朗(編集幹事)/ 宮岡 悦良(編集幹事)/ 宮島 静雄(編集幹事)
  • 1 はじめに−「微分を使って幾何学をする」ということ
    • 1.1 「微分を使って図形を調べる」ということ
    • 1.2 座標と幾何学
  • 2 ユークリッド空間のベクトル値関数の微積分
    • 2.1 ユークリッド空間
    • 2.2 曲線に沿うベクトル場の微分
    • 2.3 曲面上の関数の微分
    • 2.4 曲面上のベクトル場の微分
    • 2.5 曲面上のベクトル場の積分
  • 3 ユークリッド空間内の曲線
    • 3.1 ユークリッド平面内の曲線
    • 3.2 平面曲線論の基本定理
    • 3.3 ユークリッド空間内の曲線
    • 3.4 空間曲線論の基本定理
  • 4 ユークリッド空間内の曲面
    • 4.1 ユークリッド空間内の曲面
    • 4.2 曲面のガウス写像
    • 4.3 曲面の基本方程式
    • 4.4 ガウスの方程式と“内在的な”幾何学
    • 4.5 曲面論の基本定理
  • 5 ガウス曲率が一定である曲面
    • 5.1 等長的な曲面
    • 5.2 ガウス曲率が0である曲面
    • 5.3 ガウス曲率が正の定数である曲面
    • 5.4 ガウス曲率が負の定数である曲面
  • 6 リーマン多様体としての曲面
    • 6.1 抽象的な曲面
    • 6.2 リーマン計量
    • 6.3 曲線の長さ
    • 6.4 平行性
    • 6.5 共変微分
    • 6.6 曲面の曲率
    • 6.7 抽象的な曲面の等長性
    • 6.8 ガウス曲率が一定である2次元リーマン多様体
    • 6.9 2次元リーマン多様体内の曲線
  • 7 3次元リーマン多様体
    • 7.1 3次元リーマン多様体
    • 7.2 断面曲率が一定である3次元リーマン多様体
    • 7.3 3次元リーマン多様体内の曲面
  • 8 2次元リーマン多様体の実現
    • 8.1 等長はめ込み
    • 8.2 3次元ユークリッド空間での実現
    • 8.3 4次元ユークリッド空間での実現
    • 8.4 断面曲率一定の3次元リーマン多様体での実現
  • 9 曲率の積分
    • 9.1 平面曲線の曲率の積分
    • 9.2 ガウス曲率の積分−ガウス−ボンネの定理(1)
    • 9.3 ガウス曲率の積分−ガウス−ボンネの定理(2)
    • 9.4 ガウス曲率の絶対値の積分
    • 9.5 平均曲率の積分−ミンコフスキーの積分公式とその応用

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