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目次

微分幾何学とトポロジー

微分幾何学とトポロジー (東京大学工学教程 基礎系数学)

  • 永長 直人(著)/ 東京大学工学教程編纂委員会(編)
  • 1 微分形式
    • 1.1 pベクトル
    • 1.2 pベクトルの外積
    • 1.3 微分形式
    • 1.4 外微分
    • 1.5 微分形式の変換
    • 1.6 完全形式と閉形式
    • 1.7 星印作用素
    • 1.8 Poincaréの補題(Euclid空間の場合)
  • 2 曲線と曲面の微分幾何学
    • 2.1 曲線
    • 2.2 曲面
  • 3 多様体
    • 3.1 多様体とは
    • 3.2 接空間
    • 3.3 Lie微分
    • 3.4 部分空間とFrobeniusの定理
    • 3.5 Lie群とLie代数
    • 3.6 Riemann幾何学
    • 3.7 ラプラシアンと調和形式
  • 4 多様体と積分
    • 4.1 単体
    • 4.2 多様体上の積分
    • 4.3 Stokesの定理
  • 5 ホモロジーとコホモロジー
    • 5.1 群論の準備
    • 5.2 ホモロジー群
    • 5.3 ホモロジー群の実例
    • 5.4 de Rhamコホモロジー理論
    • 5.5 Poincaréの補題とde Rhamの定理
    • 5.6 de Rhamコホモロジー群の例
  • 6 ファイバー束と特性類
    • 6.1 ファイバー束とは
    • 6.2 ファイバー束における接続と曲率
    • 6.3 特性類
  • 7 指数定理とMorse理論
    • 7.1 指数定理
    • 7.2 Morse理論
    • 7.3 量子力学
    • 7.4 超対称量子力学とMorse理論
  • 8 ホモトピー理論
    • 8.1 動機付け
    • 8.2 基本群
    • 8.3 秩序変数の欠陥の分類
    • 8.4 高次ホモトピー群
  • 9 カタストロフィー理論
    • 9.1 カタストロフィー理論の考え方
    • 9.2 Thomの定理と初等カタストロフィー