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目次

  • 第1章 解析学からの準備
    • 1.1 数列の極限
    • 1.2 関数の極限
    • 1.3 微分法
    • 1.4 積分法
    • 1.5 2変数関数の偏微分
    • 1.6 2重積分
    • 1.7 無限級数
    • 1.8 関数項級数
    • 1.9 常微分方程式
    • 1.10 関数の変動と2次変分
  • 第2章 確率論の基礎概念
    • 2.1 離散型の確率モデル
    • 2.2 連続型の確率モデル
    • 2.3 確率変数の平均
    • 2.4 確率変数の変換と収束
    • 2.5 独立性と共分散
    • 2.6 正規分布
    • 2.7 条件付き平均
    • 2.8 連続時間の確率過程
  • 第3章 ブラウン運動
    • 3.1 ブラウン運動の定義
    • 3.2 ブラウン運動の増分
    • 3.3 ブラウン運動の見本経路
    • 3.4 ガウス過程としてのブラウン運動
    • 3.5 マルコフ過程としてのブラウン運動
  • 第4章 伊藤の確率積分
    • 4.1 階段過程に対する確率積分
    • 4.2 適合過程に対する確率積分
    • 4.3 マルチンゲールをつくるリーマン和
    • 4.4 確率積分の実際
    • 4.5 確率積分の2次変分と共変動
    • 4.6 伊藤過程と確率微分
    • 4.7 伊藤の単純公式
    • 4.8 伊藤の一般公式
    • 4.9 多次元の伊藤公式
    • 4.10 ストラトノビッチ積分
    • 4.11 マルチンゲールの表現定理
  • 第5章 確率微分方程式
    • 5.1 確率微分方程式で表されるモデル
    • 5.2 ドリフトと拡散の係数
    • 5.3 確率微分方程式の解の存在と一意性
    • 5.4 リプシッツ条件と線形増大度条件の役割
    • 5.5 多次元の確率微分方程式
  • 第6章 確率微分方程式の解の性質
    • 6.1 マルコフ過程としての解
    • 6.2 チャップマン・コルモゴロフ方程式
    • 6.3 解の積率評価
    • 6.4 拡散過程としての解
    • 6.5 コルモゴロフの前向きと後ろ向きの方程式
    • 6.6 拡散過程の関数の平均と偏微分方程式
    • 6.7 時間的に一様な拡散過程と不変測度
  • 第7章 応用トピックス
    • 7.1 線形確率微分方程式
    • 7.2 確率測度の変換とギルサノフの公式
    • 7.3 パラメータの統計的推定
    • 7.4 確率微分方程式の解の安定性
    • 7.5 人口動態のロジスティックモデル
    • 7.6 競争と共生のロトカ・ボルテラモデル
    • 7.7 カルマン・ブーシーのフィルター問題
  • 第8章 金融のブラック・ショールズモデル
    • 8.1 オプションとブラック・ショールズモデル
    • 8.2 裁定機会,リスク中立確率,市場の完備性
    • 8.3 ブラック・ショールズの偏微分方程式
    • 8.4 熱方程式とブラック・ショールズのPDE
    • 8.5 リスク中立確率とマルチンゲールによる価格付け
    • 8.6 ヘッジ戦略