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目次

  • 第1章 確率論へのアプローチ
    • 1.1 古典的アプローチ
    • 1.2 統計的アプローチ
    • 1.3 公理的アプローチ
    • 1.4 本書における確率
  • 第2章 順列と組合せ
    • 2.1 順列と組合せ
    • 2.2 多項係数とスターリングの公式
    • 2.3 場合の数から確率へ
    • 2.4 最尤推定
  • 第3章 条件付き確率
    • 3.1 条件付き確率と同時確率
    • 3.2 条件付き確率の性質
    • 3.3 条件付き確率と状況変化
  • 第4章 確率的な独立
    • 4.1 確率的な独立
    • 4.2 確率的な独立の性質
  • 第5章 ベイズの定理
    • 5.1 ベイズの定理の導出
    • 5.2 ベイズの定理の一般化
    • 5.3 ベイズの定理と「意外な」確率
  • 第6章 確率変数と確率分布
    • 6.1 確率変数
    • 6.2 確率分布と確率密度関数
    • 6.3 累積分布関数
  • 第7章 確率分布の実例と性質
    • 7.1 離散的な確率分布
    • 7.2 連続的な確率分布
    • 7.3 複数の確率変数と分布
  • 第8章 期待値と分散
    • 8.1 期待値と分散
    • 8.2 確率変数の規格化
    • 8.3 チェビシェフの不等式とマルコフの不等式
  • 第9章 複数の確率変数
    • 9.1 期待値
    • 9.2 分散
    • 9.3 共分散
    • 9.4 相関係数
    • 9.5 多変数の場合
    • 9.6 独立の場合
    • 9.7 条件付き期待値
  • 第10章 確率分布の変換
    • 10.1 特性関数
    • 10.2 モーメント
    • 10.3 キュムラント
  • 第11章 中心極限定理
    • 11.1 確率変数の収束
    • 11.2 大数の(弱)法則
    • 11.3 法則収束について
    • 11.4 中心極限定理
  • 第12章 ランダムウォーク
    • 12.1 単純ランダムウォーク
    • 12.2 ランダムウォークの「道」表現
    • 12.3 投票の問題と初到達時間の問題
    • 12.4 原点への復帰の問題
    • 12.5 逆正弦定理
    • 12.6 対称単純ランダムウォークの拡張
  • 第13章 マルチンゲール
    • 13.1 マルチンゲール
    • 13.2 ランダムウォークによるマルチンゲール表現定理
    • 13.3 離散伊藤公式
    • 13.4 ドゥーブ−メイヤー分解
  • 第14章 ブラウン運動
    • 14.1 ランダムウォークからブラウン運動へ
    • 14.2 ブラウン運動の性質
    • 14.3 ブラウン運動とマルチンゲール
  • 第15章 確率積分と伊藤の公式
    • 15.1 確率積分
    • 15.2 伊藤過程
    • 15.3 確率微分方程式
  • 第16章 マルコフ過程
    • 16.1 マルコフ過程
    • 16.2 マルコフチェーン
    • 16.3 チャップマン−コルモゴロフの方程式とマスター方程式
    • 16.4 ワンステップ過程
  • 第17章 物理理論からの確率微分方程式
    • 17.1 自由ブラウン運動
    • 17.2 ランジュバン方程式
    • 17.3 拡散方程式
    • 17.4 フォッカー−プランク方程式
  • 付録
    • A.1 フーリエ変換
    • A.2 ガウス積分
    • A.3 確率密度関数と特性関数の対応
    • A.4 モンティ・ホール問題
    • A.5 確率変数の和,積,商の確率密度関数
    • A.6 二つの確率変数が無相関であるが独立でない例
    • A.7 フォッカー−プランク方程式の導出