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目次

共立講座数学の輝き 10 保型関数

共立講座数学の輝き 10 保型関数

  • 新井 仁之(ほか編)/ 志賀 弘典(著)
  • 第1章 楕円曲線と楕円モジュラー関数
    • 1.1 SL2(Z)と複素トーラスのモジュライ
    • 1.2 SL2(Z)の基本領域と生成元
    • 1.3 ワイエルストラスペー関数と2重周期関数
    • 1.4 3次代数曲線論
    • 1.5 ワイエルストラスペー関数による3次曲線の助変数表示
    • 1.6 楕円モジュラー関数j(τ)
    • 1.7 楕円モジュラー関数曼荼羅
  • 第2章 SL2(Z)に関する保型形式概論
    • 2.1 保型形式の概念
    • 2.2 アイゼンシュタイン級数
    • 2.3 楕円曲線から導かれる保型形式,とくに判別式形式
    • 2.4 保型形式環M(Γ)
    • 2.5 デデキントのエータ関数
    • 2.6 アイゼンシュタイン級数E2(z)
    • 2.7 ゼータとテータ
    • 2.8 余興:楕円曲線のハッセ−ヴェイユL関数
  • 第3章 合同部分群に関する保型形式
    • 3.1 概説と記号
    • 3.2 尖点
    • 3.3 合同部分群によって得られるリーマン面
    • 3.4 主合同部分群Γ(N)
    • 3.5 合同部分群に関する保型形式
    • 3.6 コンパクト・リーマン面概説
    • 3.7 リーマン−ロッホの定理概説
    • 3.8 合同部分群に対する次元公式
    • 3.9 Γ1(N)の基本領域と生成系
    • 3.10 合同部分群の重要性
  • 第4章 ヘッケ作用素と固有形式
    • 4.1 予備的考察
    • 4.2 ヘッケ写像
    • 4.3 ヘッケ作用素T(n)
    • 4.4 ヘッケ固有形式
    • 4.5 ディリクレ級数:L関数への準備
    • 4.6 L関数への反映
    • 4.7 2つの典型的なヘッケ固有形式の例
    • 4.8 合同部分群に関するヘッケ作用素:概説
  • 第5章 ヤコビ・テータ関数
    • 5.1 定義と主要な定理
    • 5.2 ヤコビ・テータ関数に関する主要定理の証明
    • 5.3 ガウスの倍角公式
    • 5.4 ヤコビ・テータ関数の無限積表示とその応用
    • 5.5 一般指標のテータ関数とその変換公式
  • 第6章 超幾何微分方程式から導かれる保型関数
    • 6.1 ガウス超幾何微分方程式
    • 6.2 超幾何微分方程式の解の表示
    • 6.3 接続公式および周回行列の明示
    • 6.4 ガウス超幾何微分方程式のシュワルツ写像
    • 6.5 一般化された超幾何関数
  • 第7章 クラインの保型関数とその応用例
    • 7.1 ガウスの算術幾何平均定理とテータ零値についてのヤコビの公式
    • 7.2 Γ1(3)の保型関数
    • 7.3 Γ1(4)の保型形式とヘッケ作用素
    • 7.4 Γ(5)およびΓ1(5)のモジュラー関数と,5次方程式の解析的解法
    • 7.5 Γ1(6)のモジュラー関数
    • 7.6 Γ(7)とその部分群に関する各種の考察
  • 第8章 超幾何保型関数と高次虚数乗法
    • 8.1 ヒルベルト類体と古典虚数乗法論
    • 8.2 総実体上の4元数環
    • 8.3 数論的三角群由来の4元数環における志村虚数乗法論
    • 8.4 単数群Δ(3,3,5)の場合の正準模型の明示式とその応用
    • 8.5 高次ヒルベルト類体の実例