目次
曲率とトポロジー 曲面の幾何から宇宙のかたちへ
- 河野 俊丈(著)
- 序章
- 0.1 地球を測る
- 0.2 球面上の幾何学
- 0.3 合同変換
- 第1章 曲線の曲率
- 1.1 平面曲線のパラメータ表示
- 1.2 平面曲線の曲率
- 1.3 空間曲線の曲率と捩率
- 第2章 曲面の計量と曲率
- 2.1 2変数関数の微分
- 2.2 曲面のパラメータ表示と計量
- 2.3 曲面の法線ベクトルと曲面積
- 2.4 ガウス曲率と平均曲率
- 2.5 ガウス写像と曲率
- 2.6 ガウス曲率が一定の曲面
- 2.7 極小曲面
- 第3章 曲面上の幾何学
- 3.1 曲面上の測地線の方程式
- 3.2 ベクトル場の共変微分と平行移動
- 3.3 平面領域の微分形式とその外微分
- 3.4 ガウスの基本定理とその証明
- 3.5 ガウス・ボンネの定理
- 3.6 平行移動とガウス曲率
- 第4章 平面幾何から非ユークリッド幾何学へ
- 4.1 ユークリッド『原論』
- 4.2 非ユークリッド幾何学の発見
- 4.3 内在的幾何学
- 第5章 双曲幾何学
- 5.1 双曲面とポアンカレ円板
- 5.2 双曲幾何学の上半平面モデル
- 5.3 双曲平面の等長変換
- 5.4 測地三角形の面積
- 5.5 双曲平面の三角法
- 5.6 非ユークリッド幾何学のモデル
- 第6章 変換群と時空の幾何学
- 6.1 ガリレイ変換
- 6.2 ローレンツ変換
- 6.3 特殊相対論
- 第7章 多様体への入門
- 7.1 可微分多様体の定義
- 7.2 多様体の接空間
- 7.3 多様体上の写像の微分
- 7.4 多様体上のベクトル場
- 7.5 リーマン計量
- 7.6 変換群と被覆空間
- 第8章 多様体上の微分形式
- 8.1 Rnの領域上の微分形式
- 8.2 多様体の接ベクトル束
- 8.3 ベクトル束
- 8.4 徴分形式とその外微分
- 8.5 微分形式の性質
- 8.6 多様体のコホモロジーとストークスの定理
- 第9章 接続と共変微分
- 9.1 ベクトル場の共変微分
- 9.2 ベクトル束の接続
- 9.3 テンソル場とその共変微分
- 9.4 一般リーマン多様体の接続
- 9.5 平行移動と測地線
- 第10章 多様体の曲率テンソル
- 10.1 リーマン曲率テンソル
- 10.2 ベクトル束の曲率形式
- 10.3 2次元リーマン多様体のガウス曲率
- 10.4 断面曲率
- 10.5 リッチ曲率とスカラー曲率
- 10.6 ビアンキ等式とアインシュタインテンソル
- 10.7 部分多様体の曲率
- 10.8 ヤコビ場とその応用
- 10.9 定曲率多様体
- 第11章 トポロジーと幾何構造
- 11.1 曲面の幾何構造
- 11.2 幾何構造のモデル
- 11.3 サーストンの幾何化予想
- 第12章 宇宙空間の幾何学に向けて
- 12.1 アインシュタインの重力場方程式
- 12.2 シュバルツシルト計量
- 12.3 ブラックホールの幾何学
- 12.4 フリードマンモデル
- 12.5 重力レンズと特異点理論
- 付録:基礎事項のまとめ
- A.1 双線型形式,テンソル積など
- A.2 位相空間と距離空間
- A.3 群の定義と基本的な概念
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