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目次

  • 序章
    • 0.1 地球を測る
    • 0.2 球面上の幾何学
    • 0.3 合同変換
  • 第1章 曲線の曲率
    • 1.1 平面曲線のパラメータ表示
    • 1.2 平面曲線の曲率
    • 1.3 空間曲線の曲率と捩率
  • 第2章 曲面の計量と曲率
    • 2.1 2変数関数の微分
    • 2.2 曲面のパラメータ表示と計量
    • 2.3 曲面の法線ベクトルと曲面積
    • 2.4 ガウス曲率と平均曲率
    • 2.5 ガウス写像と曲率
    • 2.6 ガウス曲率が一定の曲面
    • 2.7 極小曲面
  • 第3章 曲面上の幾何学
    • 3.1 曲面上の測地線の方程式
    • 3.2 ベクトル場の共変微分と平行移動
    • 3.3 平面領域の微分形式とその外微分
    • 3.4 ガウスの基本定理とその証明
    • 3.5 ガウス・ボンネの定理
    • 3.6 平行移動とガウス曲率
  • 第4章 平面幾何から非ユークリッド幾何学へ
    • 4.1 ユークリッド『原論』
    • 4.2 非ユークリッド幾何学の発見
    • 4.3 内在的幾何学
  • 第5章 双曲幾何学
    • 5.1 双曲面とポアンカレ円板
    • 5.2 双曲幾何学の上半平面モデル
    • 5.3 双曲平面の等長変換
    • 5.4 測地三角形の面積
    • 5.5 双曲平面の三角法
    • 5.6 非ユークリッド幾何学のモデル
  • 第6章 変換群と時空の幾何学
    • 6.1 ガリレイ変換
    • 6.2 ローレンツ変換
    • 6.3 特殊相対論
  • 第7章 多様体への入門
    • 7.1 可微分多様体の定義
    • 7.2 多様体の接空間
    • 7.3 多様体上の写像の微分
    • 7.4 多様体上のベクトル場
    • 7.5 リーマン計量
    • 7.6 変換群と被覆空間
  • 第8章 多様体上の微分形式
    • 8.1 Rnの領域上の微分形式
    • 8.2 多様体の接ベクトル束
    • 8.3 ベクトル束
    • 8.4 徴分形式とその外微分
    • 8.5 微分形式の性質
    • 8.6 多様体のコホモロジーとストークスの定理
  • 第9章 接続と共変微分
    • 9.1 ベクトル場の共変微分
    • 9.2 ベクトル束の接続
    • 9.3 テンソル場とその共変微分
    • 9.4 一般リーマン多様体の接続
    • 9.5 平行移動と測地線
  • 第10章 多様体の曲率テンソル
    • 10.1 リーマン曲率テンソル
    • 10.2 ベクトル束の曲率形式
    • 10.3 2次元リーマン多様体のガウス曲率
    • 10.4 断面曲率
    • 10.5 リッチ曲率とスカラー曲率
    • 10.6 ビアンキ等式とアインシュタインテンソル
    • 10.7 部分多様体の曲率
    • 10.8 ヤコビ場とその応用
    • 10.9 定曲率多様体
  • 第11章 トポロジーと幾何構造
    • 11.1 曲面の幾何構造
    • 11.2 幾何構造のモデル
    • 11.3 サーストンの幾何化予想
  • 第12章 宇宙空間の幾何学に向けて
    • 12.1 アインシュタインの重力場方程式
    • 12.2 シュバルツシルト計量
    • 12.3 ブラックホールの幾何学
    • 12.4 フリードマンモデル
    • 12.5 重力レンズと特異点理論
  • 付録:基礎事項のまとめ
    • A.1 双線型形式,テンソル積など
    • A.2 位相空間と距離空間
    • A.3 群の定義と基本的な概念

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