講座数学の考え方 ８ 集合と位相空間 みんなのレビュー

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投稿者：類太郎　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

ドイツ文字は小文字の l, m, n, o, p だけなので初学者に読めない文字はない. 読者が自然な理解を得られるように文体と例が工夫され所々に図説がある. 常に他分野とのつながりを意識しているので読み飽きない.

高校数学程度の集合と論理の知識(青チャートの裏表紙が集合論的背景から理解している程度)があり, 複素平面と多変数関数に慣れていれば, 難なく読めると思う.

距離空間Xの完備化X*から定義される埋め込み写像(包含写像)i:X→X*は, X⊂X*がX*において稠密でなければ連続ではない(※). 本書では埋め込み写像の連続性まで示しており, また実数体Ｒの完備性の証明, リーマンのゼータ関数, 帰納的極限など, 他の本に書かれていない内容がいくつも含まれている.

位相の開核作用素による特徴付けなど, 位相の概念の使用者にとっては本質的ではないことが演出問題に回されているのも良いと思う.

松坂の「集合・位相入門」(コメント参照)と内田の「集合と位相」と比べ中間程度の分量だがこちらも読みやすく, また本書が最も厳密かつ記述も現代的だと思う.

私は本書もかなり読み込んだので本書にも思い入れがある.

(※)
例えばユークリッド空間の真部分開集合Ωにおける台がコンパクトなC^∞級関数全体の成す空間((C^∞)_0)(Ω)をソボレフ空間のノルム||・||_(k, p)から定まる距離により完備化すると(W^(k, p))(Ω)ではなく定義より((W^(k, p))_0)(Ω)となる.

i:((C^∞)_0)(Ω)∋φ→i(φ)＝φ∈(W^(k, p))(Ω)

が連続であれば, 任意のu∈(W^(k, p))(Ω)に対して列{φ_n}⊂((C^∞)_0)(Ω)が存在して(W^(k, p))(Ω)の位相でuに収束するが, ((C^∞)_0)(Ω)は(W^(k, p))(Ω)において稠密ではないので, 或るuに対して{φ_n}は存在せずiは連続ではない. 詳しくは関数空間とその間の埋め込みについて述べられた解析学の本を参照してほしい.