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商品説明
（第2版刊行に当たってより抜粋）
本書は、初版刊行以来二十年近くの年月を経たが、多様体論への入門書として多くの人々に読まれ、またこの間にわが国で著されたいくつかの数学書に読者への参考文献として引用して頂いている。こうして本書がいまなお些かでも世の役に立っているかと思うと、著者としてこれ以上の幸せは無い。そこで、今後の読者のため参考文献を補うべきと思い、これを動機に旧版の改訂増補を行うこととなった。
改訂事項としては、旧版の本文についてはこれを改めず、その脚注に挙げた文献について多少の追加と変更をするに止めた。また、巻末に旧版刊行以後に現れた国内外の多様体論に関する主な著作を参考文献に追加し、簡単な紹介を付して読者の便宜を図った。
数学的内容をもって加筆したのは次の二点である。いくつかの演習問題を補充したが、この形で旧版で触れていないシンプレクティック多様体と古典力学の基礎的事項を解説した。演習問題1.8、2.6、2.7、3.6、4.5、4.6がこの意図のもとに加えられたもので、その多くには略解が付けてある。数理物理学が画期的に発展しつつある現代にあって、古典力学の多様体論的基礎が入門書にあってもよいであろう。これら一連の演習問題を解けば、専門書による古典力学の数学的理解に役立つことと思う。なお、本書の演習問題の多くは読者への研究課題であり、学生諸君のレポート問題に適しているかもしれない。
いま一つは付録を増補して、ボホナーの定理という調和形式論の重要な結果を紹介した。これは現在ボホナー技法とよばれる証明法の起源であり、読者がこれによって現代数学の美しい手法の一端を味わわれることを期待している。
1989年3月 著者【商品解説】
目次
- 第1章 可微分多様体
- 1.1 数空間 R n における準備
- 1.2 可微分多様体
- 1.3 C ∞関数とC ∞写像
- 1.4 C ∞関数の性質
- 1.5 接ベクトル空間
- 1.6 C ∞関数とC ∞写像の微分
- 1.7 ベクトル場
- 1.8 ベクトル場とC ∞関数環
- 1.9 リーマン計量
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紙の本
抽象論が好きな方や複素幾何を学びたい方へ
2020/02/19 20:28
4人中、2人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。
投稿者：類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る
本書は入門書ながらコホモロジーや線型接続や複素多様体について詳しく, 調和形式についても触れられており, 具体例は抽象論の理解に最低限必要な程度に厳選されている. 複素幾何をやるのに無駄がなく近道になりそうである. 概念の定義も極力導入の意義を説明しており天下り的な記述は少ない. 「非線形問題と複素幾何学」によれば偏微分方程式論という解析学の分野と複素幾何という幾何学の交叉がある. これは実に美しい.
松島氏の「多様体入門」でも本書でもパラコンパクトな多様体のリーマン計量の存在証明で暗黙のうちに
多様体は局所コンパクト,
コンパクト集合の閉部分集合はコンパクト
を使っているが, 局所コンパクト性は解析学以外ではあまり見かけない気がするし, 自明でない気がする. 松島氏の本には位相多様体は局所コンパクトとある. リーマン計量の記法についても松島氏の本が参考になる. 単位の分割の存在証明でも後者を使っている. 線型代数としては双対空間や商空間も既知としているが線型代数の入門書で双対空間と商空間の両方をきちんと説明しているのは齋藤氏の「線型代数入門」と佐武氏の「線型代数学」しかない.
p次ド・ラームコホモロジー群がp次特異ホモロジー群の双対空間とみなせるというド・ラームの定理はおもしろかった.
外微分作用素にはその転置作用素が存在し余微分作用素で与えられることや, ホッジ-小平の定理, ホッジの定理も美しい.
ホッジ-小平の定理(本文では小平-ド・ラームの分解定理)は, コンパクトな向き付けられたリーマン多様体の上のp次微分形式の成す実線型空間が, p次調和形式の部分空間と, p−1次微分形式の成す部分空間の外微分dによる像と, p＋1次微分形式の成す部分空間の余微分δによる像の直和に分解されるというもので,「ベクトル解析からの幾何学入門」にも本質的に同じことがより初等的な形で書かれてあり以前それを読んだことがあったので理解が深まった.
ホッジの定理はホッジ-小平の定理と同じ仮定のもとでp次調和形式の成す空間とp次コホモロジー群が同型であることを示すものでこれまた美しい.
ポアンカレ双対性についても触れているのも良いと思う.
微分形式は天下り的な記述だが微分形式の初等的な話は色々な本に書いてあるからだろう. 例えば
「曲線と曲面の微分幾何」
「ベクトル解析からの幾何学入門」
「ベクトル解析と幾何学」
「解析入門(下)」
が参考になる.
多様体M上のC^∞級ベクトル場の成す集合Ｘ上の交代形式とM上の微分形式が同一視できることにまで言及している. X, Y∈Ｘに対するリー微分作用素L_X, L_Y, 内部積作用素i(X), i(Y)と外微分dについてのカルタンの公式
[L_X, i(Y)]＝i([X, Y])
[L_X, L_Y]＝L_[X, Y]
d(i(X))＋i(X)d＝L_X
はなかなか美しい.
局所的議論では局所座標近傍
(U; x^1, …, x^n)
について点x∈Uに局所座標系x^1, …, x^nのxにおける値x^1, …, x^nを対応させ
x＝(x^1, …, x^n)
と同一視し
U⊆Ｒ^n
f(x)＝f(x^1, …, x^n)
とみて説明を簡単にしている.
特に微分形式の積分の説明が他の本と比べてわかりやすかった.
多様体の線型接続については「曲線と曲面の微分幾何」の共変微分と測地線の節が理解の参考になる. 特に問にあるベクトル場の共変微分の公式と測地線の方程式の変形版を知っておくと消化が早まる. 初めは長い計算による証明は飛ばして論理展開をつかむ読み方でないと理解が進まないだろう.
ベクトル場Xのベクトル場Yに沿った共変微分(▽_Y)Xの定義も天下り的だが「改訂新版 ベクトル解析からの幾何学入門」に初等的な解説があり参考になる.
