グレブナー基底 代数幾何と可換代数におけるグレブナー基底の有効性 １

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投稿者：木村　智博　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

　コンピューター技術の発展に伴い，代数幾何学の研究が進展している。実践的な面でも応用され，ロボット工学などにおいては，特に重要な概念となっている。関連書籍が何冊か出版されているが，本書ではグレブナー基底の考え方を詳述した専門書である。扱われる事項があまりにも多いことから，2分冊になっている。この2冊は関連性が深く，代数幾何学を体得するうえでは不可欠な関係を保っている。純粋数学ばかりではなく，応用数学で取り上げられる項目もフォローし，幅広い読者に支持されよう。アルゴリズムに関する記述も充実するなど，理学のみならず，工学系の大学院生，研究者にも薦めたい1冊。原題に示されている“Using Algebraic Geometry”のとおり，代数学と幾何学のエッセンスを凝縮している。専門的な事項は丁寧に説明するなど，読者の便宜を図る。また，練習問題も多く，教授陣にとっても必携の書である。
　（1），（2）巻は有機的につながっている。（1）巻では1〜5章，（2）巻は6〜9章が収録されている。1，2章ではグレブナー基底（基礎的な定義，アルゴリズム，定理）とともに，方程式の解き方などに触れる。3，7章は実践的な応用に有利とされている終結式を扱う。7章においては特に，多面体，混合体積などに言及。4，5，6章は可換代数に焦点を当て，局所環上の計算，加群，自由分解を取り上げる。また，ヒルベルト函数とその幾何学的応用についても紙幅を割く。8，9章で応用数学に関連する事項を解説し，いずれも興味深いテーマである。整数計画，組み合わせ論，多項式スプライン，代数的符合理論などが取り上げられている。最先端の数学を丁寧に記述し，しかも，本書の活用法，講義に利用する際の使い方，参考文献を示すなど，学生，教師双方にとって便利である。全体を通じ，600題を超える練習問題が付され，理解度を探ることも可能。グレブナー基底の基礎，終結式の理論，可換代数，応用数学といった代数幾何の多様な側面に触れることができる。
(C) ブッククレビュー社 2000