数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの

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投稿者：類太郎　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

初学者の誰が考えてもおかしくないことや陥りやすい誤りが書かれてあるのは他の「数学ガール」と同じである. 本書では, 絵や図説をふんだんに用いて時には可換図式も使いかなりていねいに行列を解説している. 特にわかりやすいと思われる感じた点と工夫されているように感じた点は以下である.

・実数0の公理的定義に基づく0と零行列の説明
・実数1の公理的定義に基づく1と単位行列の説明
・行列の数の配置において横が行であり縦が列であること
・行列の積の定義
・積は可換でないこと
・行列は線型変換を表すこと
・線型性の意味
・行列の積の意味
・行列式の意味
・(全体的に見て)行列と数の対応関係
・数学における論理の説明

行列に慣れるために必要な行列の見方や計算の仕方さらに注意しなければいけない代数的事項(積の定義可能性, 積が可換でないこと, 零因子が存在すること, など)や幾何的側面(行列と線型変換が１対１に対応すること, 行列式と線型変換の像との関係)を明確にしているのがとても良い.

分配法則と結合法則の重要性を注意深く例示しているのは数学の入門書の中では高く評価されるべきであろう.

行列は, 私は中学生時代に高校数学の学習参考書で学んだ. その時に考えていたことも書かれている. 今は高校数学に行列が無い. しかし, 幾何学・代数学・解析学のどの分野にも行列は必須なので, また数学の論理がていねいに説明されているので, 数学の初心者や行列の初学者には本書をおすすめしたい.

複素数や平面ベクトルを用いた説明もあり, 線型写像の具体例に関数の微分と積分と確率変数から期待値への対応も挙げられているが, 平面ベクトルは必要に応じて調べながら(必要なのは平面ベクトルの定義と和の定義と実数倍の定義と座標平面の点との同一視くらい), 物語の流れだけを追い軽く読み流せば予備知識は中学数学程度で足りるであろう. 本書よりも行列をていねいに解説した本は他にはない. また意外なことに厳密性がわかりやすさのために犠牲になっているのは行列の定義と逆行列の記号の定義だけである. 他も厳密に書かれている訳ではないが, 或る程度の精確性を意識しているように感じた.

ちなみに無限次元の行列は関数解析という理論で現れる. 有限次元の(つまり普通の)行列の理解は必須であるが, ぜひ関数解析にも挑んでみてほしい. 本書がそのための第一歩にもなるはずである.

なお「線型」は「せんけい」と読む. 「線形」と書かれることも多いが, 著者もこの表記を採用しており「線形」とは書いていない.「線型性」は,
関数f:Ｒ∋x→cx∈Ｒのグラフ
{(x, y)∈Ｒ^2|∃x∈Ｒ, y＝f(x)}＝{(x, cx)|x∈Ｒ}
が原点(0, 0)を通る直線であり, 実定数aと変数x, yに対して
f(ax)＝af(x)
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
が成り立つことから来ている言葉である.

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投稿者：ちこ　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

本書は、主人公の「僕」が数学ガールとよばれる3人とともに話をしたり、行動したりする中で、数学を学んでいくというシリーズの第10巻目です。同書は、行列をテーマに話が進んでいきますが、この内容が実に興味深いのです。行列というものがどんなものかということから始まり、その法則性や規則性、行列が創り出す図形など、その世界がどんどんと広がっていきます。行列はこんなにも楽しいものだったのかを改めて思い起こさせてくれる傑作です。