代数系入門

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投稿者：類太郎　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

準備としては, 最初に, 集合の記号と写像の復習から始まる. ベクトル空間の章では線型代数の復習から始まる. 「整数の性質」の「復習」と本書による「追加」は, 初等整数論への入り口にもなるだろう.

常に初学者のために細かく説明しながらも, ガロア理論のために, 読者や問題に回している事項も多い. しかし, そうすることで代数系の理論と相対的に貧しくならないように工夫している. 回されたものは, 理解を深めるために過度には難しくない上に楽しいものが大半である. Ｎ, Ｚ, Ｑ, Ｒ, Ｃの代数的構成と行列の論理的な定義さらに関数による例は感動した. 復習は充分あり例と応用で実感が湧く. テンソル積に触れられていないのも, ガロア理論と初学者を意識したからであろう. ちなみに本書でも群Gの単位元の定義は「或るe∈Gが存在して任意のx∈Gに対してex＝xe＝x」という正確な形である. 誤植は殆んど無い. なお本書では環Rの0以外の全ての元が単元であるときRを斜体といい, 可換な斜体を体と定義している.

解析学では体を公理的に定義してＲの本質的な一意存在と連続性公理を仮定して論理展開することが多いのだが, 代数系の理論による体の定義は本書で初めて知った. 新鮮に感じた.

私は, 本書と「代数概論」「多様体の基礎」「多様体入門」などを併読している. 多様体論と代数系に実解析の初歩と関数解析の知識も要る, 多変数複素解析と表現論が少しずつわかっていくので, 楽しく感じて飽きない.

環論の章に, 積分論に基づく例がふたつある. 可積分関数の空間L^1につながる「乗法の単位元を持たない(可換)環」「ルベーグ測度」・解析的整数論と表現論につながる「ハール測度」が, 「加法群(演算が加法の群)」「有限群の位数(元の個数)」「convolution(たたみこみ)」「数え上げ測度(集合にその元の個数を対応させる測度)」(を本質的に含む問題)に隠れている. 積分論からは, 実解析全体や調和解析へ接続している. ちなみに与えられた局所コンパクトな位相群Gが可換群であり距離化可能ならば, G上のハウスドルフ測度はハール測度になる. また, 急減少関数の空間Ｓに対してリトルウッド-ペイリー分解の各項はＳの「既約」ユニタリー表現を与える. )