紙の本
ざっくり理解するゲームの理論
2015/10/28 09:28
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投稿者：タヌ様 - この投稿者のレビュー一覧を見る
ゲームの理論入門書で手に入る最も歴史あるものだろう。４×４マトリックスでゼロサムゲームからスタートする典型的なペイオフ行列構成である。
最初のうちはなんか違和感だろう。だからみたいに。このような例示ケースの多様な適用例まで頭が回らないからだ。ただ状況の構成にふーんという感じまでであった。
でもチキンゲームや囚人のパラドクスなんかは冷戦時代の核戦略には欠かせない概念で、シェリング等の活躍した時代の匂いを感じることができる本である。
基本概念はこれでおさえられるけど、その後の発展は大きく、ざっくり基本型を理解する志向の方には向いている。
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この本によって私は初めてゲーム理論という学問分野に触れた。ゲームという言葉が学問的に重要な概念であることを学んだ。専門書のような定理や証明の難しい話はされていないが、ミニマックス戦略や囚人のジレンマだけでなく、投票ゲームにおけるシャープレイ値などもしっかり解説していて、いま読み返しても面白い。
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※以下は私が１５年くらい前に考えていたことを改めて書いたものです。
【得点付きジャンケンの考察】
(1)２人のプレーヤーには３種類の戦略がある。[パー,チョキ,グー]
(2)勝ったプレーヤーは開いた指の数の２倍の点数を得る。[１０点,４点,０点]
(3)引き分けは両者がそれぞれ開いた指の数だけ点数を得る。[５点,２点,０点]
(4)負けたプレーヤーは何も得られない。[０点,０点,０点]
(5)プレーヤーは自分の得点を高くすることにのみ関心をもつ。
(6)このゲームはお互いに気の済むまで続けられる。
[脳内会議]
パー派:
まずグーが合理的な選択肢から排除されることは明らかである。勝っても負けても引き分けても０点なのだから、これほど無意味な戦略は他にない。それで残るのはパーとチョキだが、グーが排除されて１０点を得ることが不可能であるとはいえそれでもパーを出せばグーが排除された状況での最高得点[５点]を得ることができる。幸運なことに相手にとっても同じ状況なのだから双方がパーを出して５点ずつ得ればこれ以上は望めない結果になる。
チョキ派:
グーが無意味な戦略で排除されることには同意する。しかし５点を狙ってパーを出すということは「欲をかく」ということである。戦略とは常に最悪の結果を想定しながら選択されなければならない。パーを出した場合の最悪の結果は相手がチョキを出して０点。チョキを出した場合の最悪の結果はグーが排除されているのだから相手がチョキを出して２点である。合理的に考える、ということが最悪の状況で最良の結果を求めるという意味であるならば、０点のパーよりも２点のチョキを選ぶことになる。もし相手が「欲をかいて」パーを出せば５点には届かないが次点の４点を得ることもできる。
グー派:
双方がそのように考えてチョキを出せば双方ともに２点で「妥協」を強いられることになる。逆にグーを排除しないで双方ともに何も考えずに最高得点[１０点]を狙ってパーを出すと５点で「妥協」を強いられる。２点の妥協と５点の妥協、どちらの妥協を選ぶべきか明らかであるが合理的にグーが排除されている状況で[チョキ,チョキ]から[パー,パー]へ移行するのは困難である。なぜなら[チョキ,チョキ]で安定している状況でパーを出したとしても相手が自分の意図に気付くとは限らないからである。むしろ相手はチョキで勝って得点が倍増[２点→４点]したことに喜んでしまうかもしれない。そうなれば相手は益々チョキに固執してしまうことになる。そこで合理的に排除されていたはずのグーが復活する。相手がチョキに固執するのであればこちらはグーを出して「報復」する。双方ともに０点になってしまうがこれは相手にとっては想定外の出来事であり、こちらがグーを出した意図を考えざるを得なくなる。あるいは単純にこちらを非合理的なプレーヤーと判断してパーで最高得点[１０点]を狙ってくるかもしれない。そうなればこちらもパーで合わせてやれば[パー,パー]という理想的な状況が実現する。もちろん短期的にはグーで損をすることになるが長期的には５点ずつを分け合って得をするはずである。このようなグーという戦略のもつ「報復」的性格を認めると、一考して無意味だと思われたグーが重要な戦略であるかのように見えてくる。
パー派:
たしかにグーの報復戦略は有効だが、それでもグーが実際に選択されることはない。なぜなら相手も自分と同様に脳内会議をしているはずだからである。つまり向こうもこちらと同様に脳内会議でグーによる報復を提案する。提案した上でさらに考えを一歩進めて、報復の無意味さを反省して実際にはパーを出す。すると[グー,パー]となり自分としては色々と考えてグーで報復したはずなのに、パーを出した相手は最高得点[１０点]で称賛され、グーで負けたこちら側は単なる愚か者になってしまう。重要なことは自分と相手が同じ思考の過程をしているにもかかわらず、相手の方が先んじてパーを出しているということである。つまり実際上はグーとパーが同時に出されているが思考上は相手が先にパーを出し、こちら側は遅れてグーによる報復をしている格好になる。ならば実際上でも自分が相手よりも先にパーを出してしまえば相手も自分と同じ思考の過程をしている以上、必ずパーを出して５点ずつ分け合うことになる。するとこの会議自体の存在が不要になる。このような脳内会議で無駄な時間を使っている暇があるのなら、とにかく相手よりも先にパーを出せばよい。
チョキ派:
先手先手のパー、か。しかしその考え方に合理性があるとは思えない。というのも[パー,パー]が理想的な状態であるとお互いが理解しているのであれば、わざわざ自分が先にパーを出すのは余計なリスクを負うことになるからである。つまり故意か否かにかかわらず、相手がチョキを出してしまう可能性がわずかでも存在する以上、こちらが先にパーを出すのは自分を不利にするだけである。相手が先にパーを出したのを確認してからこちらもゆっくりとパーを出せばよい、とお互いが考えているのだから結局はどちらも先にパーを出さない。「双方が同じタイミングで手を出す」という一般的な取り決めは単に慣習上そうなっているだけでなく、思考上の合理的な均衡の結果として同じタイミングになっているのである。したがって「とにかく相手よりも先にパーを出せばよい」という考え方は合理性の根拠を求める脳内会議の趣旨を無視して、手を出すタイミングの問題に話をすり替えている。
パー派:
言葉や超能力によって相手側と完全なコミュニケーションが成り立つと仮定する。このコミュニケーションの目的は双方が納得する合意を導くことである。この場合グーが合意から除外されるのは明らかである。同様にパーやチョキで勝ち負けがつく場合も合意には至らない。すると残るのは[パー,パー]と[チョキ,チョキ]だが双方５点と２点でどちらが合意内容として妥当であるか一目瞭然である。大事なことは実際に相手側とコミュニケーションをして合意を目指せば[パー,パー]以外の選択肢など有り得ないはずなのに、脳内会議と言って独りで考え始めるとチョキが合理的だとか、さらにはグーで報復だとか自分で自分の首を絞めるような議論に陥ってしまうことである。むろん言葉や超能力といったものはコミュニケーション手段の一種に過ぎないのであって、思うに「とにかく相手よりも先にパーを出せばよい」という戦略は相手側に自分の意図を明確に伝える、という意味でコミュニケーション手段の１つなのである。だから自分が先にパーを出すか、それとも相手が先にパーを出すかということは問題の本質ではなく、相手側に自分の意図を伝えるかどうかが問題なのであって[パー,パー]が唯一の妥当な合意内容である以上、たとえ相手側のチョキという誤った戦略によって負けたとしても、パーという戦略の「正しさ」は変わらない。
グー派:
誤って出す戦略がチョキだけとは限らない。[パー,パー]の談合戦略に対してチョキが誤った戦略だと言うのであればグーもまた誤った戦略である。ところがその誤った結果は全く異なる。グーで誤るということは当初の[パー,パー]の談合による５点ではなく、最高得点の１０点を合意通りにパーを出したプレーヤーが得ることになる。これを単純にグーを出したプレーヤーの過失として看過することはできない。なぜなら相手の間違いによって談合よりも良い結果を得るということは、次の回以降も相手の間違いを期待することになるからである。つまり表向きは[パー,パー]で談合しながらも心の中ではお互いに、相手が間違えてグーを出すことを願っているのである。これは既に「完全なコミュニケーションによる合意」とは言えない。そこで次のような戦略を考えてみる。もし相手が誤ってグーを出して[パー,グー]となった場合には次回では必ず自分がグーを出して[グー,パー]でお返しする。[パー,パー]の談合が２回続いた場合には５点ずつを２回で１０点。[パー,グー][グー,パー]の場合は１０点を１回ずつで１０点。つまり結果的には当初の談合で見込める得点を維持できる。このようなお互いの間違いを前提とした得点調整の取り決めを「紳士協定」と呼ぼう。[パー,パー]の談合はグーに対する紳士協定をその戦略に組み込むことで安定的に運用されるだろう。しかしチョキに同じ役割を期待することはできない。というのも相手がチョキで誤って[パー,チョキ]になった場合、紳士協定で次回は[チョキ,パー]にしたとしても２回合計でお互いに４点ずつしか得られないからである。当初の談合なら２回合計でお互いに１０点ずつ得られたはずなのに一方の間違いのせいで双方が６点分の妥協を強いられることになる。このような紳士協定は早々に瓦解してしまうだろう。そのため[パー,パー]の談合戦略が成り立つためにはパーとグーによる紳士協定が条件となる必要があるが、他方でチョキはこの談合戦略から除外されなくてはならない。
チョキ派:
"グー派"の考え方は一方のみが誤ることを前提としたものである。そうではなく双方が[チョキ,チョキ]で誤った場合は同じく双方が[グー,グー]で誤った場合と比べてお互いの損失は少なくて済むわけだから、双方が誤るのであればグーよりもチョキの方が良い、ということになる。そうだとすると表向きは[パー,パー]で談合しながらも��の中ではお互いに、相手が間違えてグーを出すことを願いつつも、心の中の中ではお互いに、相手が間違えてチョキを出すならばこちらも「意図的」に間違えてチョキを出す用意をすることになる。これは既に「完全なコミュニケーションによる合意」とは言えない。意図的、ということから察せられるようにこの心の中の過程はまさに脳内会議でこれまで論じられた内容に沿っていることがわかる。完全なコミュニケーションによる合意と言ってあたかも自分ではない相手側と話し合いをしているように思わせているが、実質的には自分と同じ考えをもつ別の自分を作り上げ、自分で自分に約束をしてそれを[パー,パー]による合意と呼んでいる。その結果として[パー,パー]の理想的な状態に対して脳内会議はその理想の実現を阻む余計な思議とされてしまう。しかるに異なる戦略についてそれぞれの合理性の根拠を求める脳内会議の方が対話の名実に適している。このゲームにおける合理性の根拠とは「パーにはパーを、チョキにはチョキを」というその応答性にある。相手の戦略がパーである場合はこちらのパーに合理性が生まれ、チョキである場合にはこちらのチョキに合理性が生まれる。つまりパーとチョキの戦略的な区別は合理と非合理で区別されるのでなく、合理性の強弱で区別される。お互いに相手の戦略に応答したときパーなら５点でチョキなら２点なのだから、その意味でパーには「強い」合理性がありチョキには「弱い」合理性があると言える。合理性の強弱はこのゲームの合理的な戦略を形作る半身をなすものであって、これに反してお互いがそれぞれの戦略から合理性を否定して排除しようとすると、グーという本来は無意味な戦略がそれでは何も得られないにもかかわらず、報復や紳士協定と言ってあたかも意味のある戦略として利用されてしまう。ゆえに、このゲームでの戦略の合理性について言えることは強さの度合いであって正しさではない。
グー派:
以上で議論しているゲームの形式は囚人のジレンマではなく、いわゆる「鹿狩り」ゲームである。囚人のジレンマの場合は均衡点よりも全てのプレーヤーにとって良い利得の非均衡点の存在が問題になる。これに対してルソーに由来するとされる「鹿狩り」ゲームの場合は、複数の均衡戦略の間での折衝が問題になっている。
[21.0214]
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