入門微分積分学１５章

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投稿者：類太郎　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

理系高校生からでも読める内容(高い立場から見直し拡充して)からゆっくり話をして, 実１変数実数値関数の理論の初歩を, 初学者が読んでも専門の人が見ても違和感の無い論理で過不足なく説明してゆく.

(ゆとり課程の時の)数研出版の数学の検定教科書と学習参考書とは違い結局は原始関数と不定積分の区別(※1)をしていたり, 初等数学流に合成関数の微分の公式を証明するときの問題点を証明の終了の直後に指摘していたり, 初等数学では詳細は省かれがちな公式や定理が成り立つ充分条件を不足なく述べている(※2)のは, 初等数学から論理的な数学へと読者を自然に誘導してくれていると思う.

微分方程式について初歩からていねいに触れられることも, 早くに微分と積分に実在感を持つためには最適だろう.

そして「杉浦の解析入門」のように, 実数の公理的な扱い(※3)とε-論法により, 本文や初等数学では証明を教えてくれなかった定理を, 付録で(ゆとり課程や新課程の青チャートには「証明なしで用いてよい」とあるふたつの定理も含めて)論理的に作り直して, 深遠な世界も見せてくれる. 難解かもしれないが少しずつ解読していって分かった瞬間まで走り続けるのは楽しいと思う.

高校生や, どの学科に行きたいか悩む人にも役に立つと思う.

(※1)著者の場合は意訳して言えば「不定積分は原始関数の集合」；(ゆとり課程の時の)東京書籍の教科書の場合は「不定積分は原始関数をまとめて表したもの」(＝与えられた関数の原始関数全体の集合に, ふたつの元に定数差だけの違いがあるときそれらを同値として, 同値関係を入れて作られる商集合の元))

(※2) 例えば, 部分積分はそれぞれの関数が微分可能で導関数も連続なら可能である. 連続関数は必ず原始関数を持つからである. 最も広い仮定は, ルベーグ積分可能で, １階の弱微分が可能であり, その関数もルベーグ積分可能であること. むしろ定義である.

(※3) 四則演算(和・差・積・商)が定義されていて, 交換法則・結合法則・分配法則が成り立ち, 順序関係(大小関係)があり, 四則演算と大小関係が両立していて(例:a＞b⇒a＋c＞b＋c, a＞bかつc＞0⇒ac＞bc), 数直線など図を使わず集合と論理の言葉だけで表現される「実数の連続性」を持つ集合の元を実数としている. このような集合がひとつ存在すると認めて(前提として)実数を定義することもできる. その場合は次に自然数を定義して整数と有理数を定義する.