位相空間のはなし やわらかいイデアの世界

大学理系の微分積分と集合論の初歩を学んだ人を位相空間論へと案内する入門書。位相に関する諸概念の「きもち」を初学者にわかるように解説。章の後半では演習問題の解答を詳しく述べる。『数学セミナー』連載をもとに書籍化。【「TRC MARC」の商品解説】

大学の数理科学系学科で、専門的な数学の入り口として学ぶことが多い位相空間論。数学なのに計算はほとんどなく、言葉での定義ばかりで抽象的なため、初めて学ぶ人にはとっつきにくい印象を持たれることも多い。本書では、その位相空間の初歩を、ふつうの教科書とはひと味違った「はなし」として読み進められるよう、丁寧に解説したものである。

前半では、近傍フィルター、開集合系、連続写像、開基、分離公理など、位相空間の講義に登場する理論を紹介する。言葉で表現された抽象概念の扱いに慣れるために、はなしの展開を工夫した。後半では、コンパクト性や連結性のほか、ウリゾーンの距離づけ定理やストーン-チェックのコンパクト化といった、少し高度な話題にも踏み込んでいく。各章末の演習には丁寧な解説がつけられており、問題を解くことで理解を確かめられる。

「抽象的なのに直観的」な位相空間の考え方をしっかり身につけることができる一冊。

【目次】
第1章　大きい数・近い点・近傍フィルター
第2章　近傍フィルターを生み出すしくみ――距離関数と開集合系
第3章　連続写像の概念
第4章　閉集合・境界・同相写像
第5章　基本近傍系・開基・稠密性
第6章　点と点を区別する：分離公理
第7章　離れていることとつながっていること
第8章　コンパクト性をめぐって
第9章　正規空間とウリゾーンの補題
第10章　ウリゾーンの距離づけ定理
第11章　チコノフの定理とコンパクト化
第12章　完備距離空間とベールの定理【商品解説】