測度の考え方　～測り測られることの数学～

（概要）

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「私たちは日常から長さや面積や体積を測っています．しかし，そもそも「測る」とはどういうことなのでしょうか．この「測る」ことを数学的に抽象化したものが測度です．本書では簡単な集合の解説から始めて，測れるもの，測ることができないものの性質を調べ，測度論とはいったい何をしているのかを易しく読み解いていきます．


（こんな方におすすめ）

・大学で測度論を勉強し始めた人，測度論を学ぶ目的がいまいちピンとこない人，集合とどう関係があるのかわからない人，確率「測度」とのつながりがつかめない人など．


（目次）

［第1部 測度論以前のこと］

第1章 長さ，面積，体積の昔

　 1.1 測るということ

　 1.2 どんな形でも測れるのか？

　 1.3 円の面積はなぜπr^2 か

　 1.4 アルキメデスのとりつくし法

　 1.5 錐体の体積はなぜ柱体の1/3 か

第2章 測り，測られることの数学的基礎1－集合

　 2.1 始まりはいつも集合

　 2.2 「図形」を集合と見るには

第3章 測り，測られることの数学的基礎2－実数と写像

　 3.1 測る「量」としての実数

　 3.2 写像

［第2部 具体から抽象へ－カラテオドリの条件のパズルとルベーグ測度］

第4章 基本図形で覆って測る：外測度の考え方

　 4.1 外測度の考え方

　 4.2 外測度の性質

第5章 ルベーグ測度

　 5.1 カラテオドリの条件とルベーグ可測集合

　 5.2 ルベーグ測度

［第3部 抽象から具体へ－測り測られることの本質を抜き出す］

第6章 定義で始める測度論

　 6.1 測られるものたち（σ-加法族）と測るもの（測度）の定義

　 6.2 σ-加法族の簡単な例

　 6.3 測度の簡単な例

第7章 そして定義から性質を導く

　 7.1 σ-加法族の性質を定義から導く

　 7.2 測度の性質を定義から導く

第8章 測度の構成という問題

　 8.1 σ-加法族の構成

　 8.2 前測度から測度へ

［第4部 積分を再発明する ルベーグ積分の世界］

第9章 ルベーグ積分

　 9.1 リーマン積分からルベーグ積分へ

　 9.2 ルベーグ積分の構成

第10章 ルベーグ積分の御利益の色々

　 10.1 収束定理の色々

　 10.2 フビニの定理

　 10.3 微分との関係