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数学の問題を解くためには考え方の順序テクニックが必要だ
順を追って解説しているためにわかりやすいと思われる
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普遍的な問題への向き合い方が記述されている、という意味で一読の価値はある。
が、文章は正直読みづらい。
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数学に限らない「問題をとくこと」に着目した良書。
ただ良書なのですが、非常に難しく読みづらい(理解はできるが、読み進めるのに時間がかかる)ことが難点。
自分の場合は2〜3時間かけて50ページ読むのがやっとだった。数学に強い人や理解力の高い人が読めばもう少し早く読めるのかもしれない。
http://mhlyc.hatenablog.com/entry/2017/04/30/115708
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さすがに一流の数学者の著作だけあって、「言語の思考への束縛」についての記述はすばらしい。C++(コンピュータ言語の一種)のデザインパターンの本にも同じようなことが書いてあり、「一流の頭脳は似ていること」もしくは、「進化の収斂」を再確認させられた。
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数学の問題を解くときの方法や心構えが書かれている。有益な情報が書かれており、本を通してなるほどという箇所が多く、とても参考になる。とりわけ大学受験の数学に取り組む時に効果がありそう。
下記引用、数字はページ数。
14・問題が解けなかったら、まずそれと似通った問題を解け
・与えられたものは皆使ったか、条件は全部考慮したか
40とにかくこのようにして解答を見渡し、これを精しく検討する習慣を身につけるならば知識がよく整理されてすぐ役に立つようになり、問題を解く能力が上達するであろう。
44・もしも最初からあまり細部に気をとられすぎると目標を失ってしまうことになろう。それは重点を見失わせる原因になる。木を見て森を見ず。
・もっと大切なことの為に努力を惜しむべき
問題は何がいちばん本質的なものか知ること
45未知のもの、与えられるもの、条件、はそれぞれ何か。
53二つの証明一つにまさる。
97われわれの思考は必ずある目的に向けられている。われわれは手段をまとめ、問題を解こうとするのである。
98 1.問題の理解、目標を見失わない、解こうという強い意志
2.計画をたて、適当な方法をみつければ、半ばとけたようなもの。勤勉は成功の母、目的がはっきりしていれば迷うことはまれ。
3.愚かものが最後にすることを賢いものは最初にする。
4.証明は1つよりも2つあったほうがよい。
106真面目な科学の問題をとくためには、長年にわたる苦闘とにがい失敗とを切り抜けなければならない。
107・君は希望がなくてもそれを実行し、成功しなくても我慢しなければならない。
・与えられた問題がとけなかったならば、何かそれに似た問題をとこうとつとめるべきである。
・問題をとこうとする意思がないばかりか、問題を理解しようともしないから、結局問題を少しも理解していないのである。
120・難しいことを、図形をみたり代表の記号をいじったたけで言葉を少しもつかわなくても考えることができることを知っている。図形と記号とは数学的なものの考え方に深くむすびついていて、それが心の働きを助けるのである。
・とにかく数学の記号を使うことは言葉を使うのとよくにている。数学の記号は言葉のようなもの、即ちぴったりしたことば、簡明で、明確で、しかもふつうの文法のように例外などがない規則にしたがって表現である。
133数学においても物理的科学におけるようにわれわれは観察と帰納をつかって一般的な法則を発見する。しかしただちがうのは物理的科学では観察と帰納以上の権威をもつものはないが、数学では厳密な証明という権威があるということである。
138教育の規則
教育の規則の第1は何を教えるかということである。教育の規則の第2は教えようとすることよりほんの少しよけいに知っているということである。
138ライプニッツ
私の考えでは発見それ自身よりも、どうしてそれが発明されたかを考えることの方が面白い。
140未来の数学者も模倣と実行とによって学ぶことに変わりない。よい模倣の手本を見出すべ���である。何よりも大事なことは普通の教科書をよむばかりでなく、自分が本当に模倣しようと思う著者をさがすためによい本をよむことである。
147問題がとけなかったら
問題がとけなかったらそのことを考え余り気にかけないで、もう少しやさしい問題をとくことで満足しなければならない。即ちまずこれと関連した問題をとこうとするのである。そうすれば又もとの問題をとこうという元気がでてくるに違いない。
148問題を変形させること
154われわれが非常な熱意をもってそれをとこうとし、異常な緊張をもってとりくもうとする問題だけがこのような成功をおさめるのであって、意識的な努力と緊張とは無意識の仕事にはかくべからざるもののようである。
155・ゆったりした態度で、適当な判断の下に、よく適した場合に規則を適用し、行動の目的や事態の機会を見失うことがないのがほんとうの大家である。
・適切な使い方をよく学び、試行錯誤によって、経験をもととして学ばなければならない。
・生兵法をふりまわしたくなりそうで、何かたよりになる規制がほしかったら、いつもまず自分の頭で考えよ。
158ばらばらの事実に比べて関連しあった事実の方が面白く記憶しやすい。
199すべてのデータをつかったか。
200すぐれた解答者はまずできるだけはっきりと問題を理解することにつとめなければならない。しかしそれだけでは十分ではなく問題に集中し、その解を熱心に求めなければならない。もしも問題をとく熱意がなかったらそれに手をつけぬ方がよい。ほんとうに成功するためには全身を問題にうちこまなければならないのである。
225問題を熱心にとこうとつとめた読者にこそ、ヒントや解答がほんとうに役にたつものである。
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スタンフォード大学の数学者による、問題解くためのアプローチをまとめたもの。原題は "How to solve it" で、インスパイアされたタイトルの本がいくつか出ている。
書かれている内容自体は大学生以上であれば目新しくはないが、巻末の問題集を解きながら実際に手法を適用しようとすることにより、自分の中でそれらを体系立てるよい試みになるのではないだろうか。
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ざっとしか読んでないが、問題を解くときの考え方のベースが書かれており、再認識できた。
また機会があれば読み返したい。
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著者ポリア教授は有名な数学者であり、この本は教師と学生に向けたものである。しかし数学を学ぼうとする人だけではなく、何か新しい創造の仕事に携わろうとする人たちならば誰にでも読まれるべき本である。
大きな発見は大きな問題を解くことができるが、どんな問題を
解くことのうちにも小さな発見の芽生えは必ずあるものである。それが読者の好奇心をそそり、ねむっている発明の才能を目覚めさせるものであれば、又もし読者が自分の力で首尾よくそれを解きえたならば、それは異常な緊張と発明のよろこびを
もたらすであろう若くて感じやすい年頃にそのような経験をし
ておくことは精神的な仕事に対する興味を湧立たせ、生涯にわたって心のうちに深い印象を残すことになるであろう。
このようなわけで数学の教師はこの上もない機会に恵まれてい
る。もしも彼が授業時間にきまりきったやり方で詰め込まうとするならば、それは学生の興味を失わせ、彼らの智能の発達をにぶらせてしまい、せっかくの機会を取逃すことであろう。
しかし反対にもしも教師が学生の知識にふさわしい問題を与えて興味をそそり、適当な質問によって問題を解く手助けをしてやるならば、学生に自分自身でものを考える意慾と方法とを与えることができるであろう。
第1部 教室にて
教師の大切な仕事は学生を助けることである。充分助けないと殆ど進歩しないであろうし、助けすぎるならば何も得るところがない。
有能ではない学生には目立たぬようにそっと助けてやらなければならない。そのために学生の心の中に起こっていることを理解し、思考の段階を示してやることが望ましい。自然に助けるためには同じ質問、同じ段階を繰り返し示さなければならない(何度もやることで自分で答えられるようになる)。同じことを違った言葉で尋ねるのもよいであろう。
「未知のものは何か」「与えられているものは何か」「条件は何か」などどの問題についても尋ねられるものがいい。
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図書館で借りた。
名著と呼ばれる本の一つで、タイトル通り、いかにして問題に取り組むかの手法論がまとめられている。
私の感想としては、「そりゃあ、そういった考え方になるよね」で、真新しい発見はなし。高校レベルでも数学が得意な人なら、この本の内容は自然と身についているのではないだろうか。
逆に、数学が苦手で「どんな頭の使い方すれば解けるようになるの?」へのベストアンサーにはなっていると思う。
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仕事をしていると毎日が問題を解くことの連続であると思うが、問題の解決を一般化している書物があったらよいなと思って、また、古典でもあることから、読んでみた。が、一般的な問題を解決する際のヒントとなる旨記載があったが、基本的には数学の問題を解くためには、また、学生が数学の問題を解くために先生はどのような指導をしなければならないかということが基本的な内容となっており、あまり一般的な問題解決のヒントになるとは思えなかった。残念。
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考えて煮詰まったことを翌朝おきた時などにあっさり解けることを「無意識な仕事」と表現していて参考になった。
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【まとめ】
●問題を解くには手順がある。すなわち、①問題を理解し、②計画を立て、③計画を実行し、④ふり返る。
●決定問題(未知のものは何か?)では未知のもの、データ、条件が、証明問題(命題は正しいか否か?)では仮説、終結が大事。
●むずかしい問題を解くうえで必要なことは、まず問題をよく理解すること、そして問題を解こう!と思うこと。すなわち問題に集中し、あらゆる手段を駆使して答えを探し求めようとする熱意が大切。熱意がないなら手を出さないほうがいい。本当に成功するためには全身を問題にうちこまなきゃだめ。
☆このリストをマスターしよう↓
【HOW TO SOLVE IT - G. POLYA】
[First.
You have to understand the problem.]
UNDERSTANDING THE PROBLEM
- What is the unknown? What are the data? What is the condition?
- Is it possible to satisfy the condition? Is the condition sufficient to determine the unknown? Or is it insufficient? Or redundant? Or contradictory?
- Draw a figure. Introduce suitable notation.
- Separate the various parts of the condition. Can you write them down?
[Second.
Find the connection between the data and the unknown. You may be obliged to consider auxiliary problems if an immediate connection cannot be found.
You should obtain eventually a plan of the solution.]
DEVISING A PLAN
- Have you seen it before? Or have you seen the same problem in a slightly different form?
- Do you know a related problem? Do you know a theorem that could be useful?
- Look at the unknown! And try to think of a familiar problem having the same or a similar unknown.
- Here is a problem related to yours and solved before. Could you use it? Could you use its result? Could you use its method? Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible?
- Could you restate the problem? Could you restate it still differently? Go back to definitions.
- If you cannot solve the proposed problem, try to solve first some related problem. Could you imagine a more accessible related problem? A more general problem? A more special problem? An analogous problem? Could you solve a part of the problem? Keep only a part of the condition, drop the other part; how far is the unknown then determined, how can it vary? Could you derive something useful from the data? Could you think of other data appropriate to determine the unknown? Could you change the unknown or the data, or both if necessary, so that the new unknown and the new data are nearer to each other?
- Did you use all the data? Did you use the whole condition? Have you taken into account all essential notions involved in the problem?
[Third.
Carry out your plan.]
CARRYING OUT THE PLAN
- Carrying out your plan of the solution, check each step. Can you see clearly that the step is correct? Can you prove that it is correct?
[Fourth.
Examine the solution obtained.]
LOOKING BACK
- Can you check the result? Can you check the argument?
- Can you derive the result differently? Can you see it at a glance?
- Can you use the result, or the method, for some other problem?
【ノーツ】
●次元によるテスト:
ある式の左辺と右辺で単位量(長さ m、面積 m²、時間 s、重さ g、温度 K など)が同じ次元かどうかをテストする。とくに物理学で、求めた式が正しそうかどうか( ≠ 正しいかどうか)を試すうえでてっとり早くて便利な方法。
●格言の知恵:
[1. 問題を理解する]目標を見失うな。愚か者ははじめを見、賢い者は終わりに注意をむける。
[2. 計画を立てる]鍵束の鍵をすべて試せ。やりたいことができなかったら、できることをやれ。
[3. 計画を実行する]愚か者が最後にすることを、賢い者は最初にする。
[4. ふり返る]念には念を入れろ。
[その他]
・目的は手段を教える。
・何、なぜ、どこ、いつ、どのようにの5つを友とせよ。忠告が必要なときはこの5人の友にたずね、他のものにたずねてはならない。
・最初に見つけた松茸(や発見)の近くを探せ。それらは群れをなして生えている。
●決意、希望、成功:
★問題を解くことは純粋に知的なことがらである、と考えるのは間違い。決意や情緒といった、より情動的・感覚的な側面も大事。ありきたりの問題を解くだけなら中途半端な姿勢でもなんとかなるが、真剣な科学の問題を解くためには、長年の苦闘と苦い失敗をきり抜けなければいけない。
・科学の研究においては見通しをもつことが大切。なにか初めに希望をもち、このやり方でいけば成功するのでは?という見込みがあってこそ、全力でその問題に取り組める。
●近代発見学:
・決定問題と証明問題の区別は重要。
・本書のリストは決定問題に適している。証明問題に対して使うには、リストの問いをすこし変える必要がある。
●未来の数学者:
・自分の適性をよく見きわめ、自分はどんな問い、どんな発見にむいているかをよく知ろう。
・模倣と実行をつうじて学ぶこと。よい手本を見つけ、よい先生に学び、優秀な友人と競争すること。なにより大切なのは、普通の教科書を読むだけではなく、自分が本当に模倣したいと思う著者を探すためによい本を読むこと。そしてそれらを楽しむこと。問題を解き、やがては自分自身で新しい問題をつくること。
●未知のものはなにか:
★問題を解くことは未知のものをデータとむすびつけること、未知のものとデータの関係をみいだすことである。したがって、未知のものは何か、与えられているデータは何かと問い、くりかえしそれらに注意をむけなければならない。
・証明問題の場合も同様に、仮説は何か、終結は何か、と問うことが必要。
●問題を変形させること:
うまくいっているあいだはいいが、なかなか問題を解けずにいるとやがて問題に飽きてしまう危険がある。それを避けるためには、問題に対して新しい問いを投げかけられないか考えてみる。
●無意識の仕事:
・どうしても問題を解けないときは「枕に相談せよ」、すなわち「今日がだめならまた明日」。すると翌日には求めていた答えがなんの苦もなく思い浮かんだりする(無意識の仕事=ユリイカ!)。
★しかしまったく収穫がないままに手を休めるのはよくない。仕事を離れるときは、なんでもいいので少しでも何かを明らかにし、少しでも何かを解決してからにするべき。
・並々ならぬ熱意をもって問題に取り組んでいるときにのみ無意識の仕事はおとずれる。さもないと、ただの「果報は寝て待て」になってしまう。そんなにうまい話はない。
●パプス:
[解析]未��のもの(解、結論)から出発する逆向きの解法、逆向きの推論
[綜合]既知のもの(データ、仮説)から出発する構成的解法、前進的推論
・解析と綜合とで対象は同じだが、解析では心を働かせ、綜合では筋肉を働かせる。解析は思想に、綜合は実行にある。そして両者は順序が逆であり、解析の出発点は、綜合が終わる点でもある。
・解析は計画を考察することであり、綜合は計画を実行することである。
●診断:
[1. 問題を理解する]×不注意により問題を不完全にしか理解してない
[2. 計画を立てる]×なんの計画もなしにいきなり解き始める、×なにか閃かないかとぼんやり待っているだけで考える努力をしない
[3. 計画を実行する]×不注意、×各段階を点検する忍耐がない
[4. ふり返る]×結果が正しいか確かめない
●進歩と成果:
[動員]記憶の中から問題に関係のある要素を取り出すこと(=星を集める)
[組織化]動員され寄せ集められたばらばらの事実を適切にむすびつけ、適当なまとまりにすること(=星座をつくる)
●すぐれた解答者
★すぐれた解答者はリストの問いや注意を内面化し、いつでも上手に使いこなすようになっていなければならない。なにか問題を解こうとするときはいつもくりかえしリストの問いをみずからに問いかけ、リストの問いをどうすればうまく利用できるかを考える。
★すぐれた解答者はまずできるだけはっきりと問題を理解することにつとめなければならない。しかしそれだけでは十分ではなく、問題に集中し、その解を熱心に求めなければならない。もしも問題を解く熱意がなかったらそれに手をつけないほうがよい。ほんとうに成功するためには全身を問題にうちこまなければならないのである。
●予想を検討せよ:
[ジョン・ジョーンズの話]ジョーンズは事務所で働いている。彼は月給がすこし上がってくれればと思っていたが、いつも希望というものがそうであるように、彼の希望もまた裏切られた。同僚の月給が上がったのに彼は昇給しなかったのだ。彼は内心おだやかでなかった。そこで彼は苦しんだあげく、彼を昇給させなかったのは所長のブラウンのせいだと考えるようになった。
[ジョーンズの過ち]ジョーンズが当初、所長ブラウンのせいだと考えたこと自体はもっともなことではある。しかし本当の間違いは、彼がそう考えたあとで、それ以外のいかなる可能性にも目をくれなかったところにある。(たとえば、ジョーンズの働きぶりについて所長ブラウンは日ごろから評価していて、それでもジョーンズが昇給せず同僚が昇給したのは、たんに同僚の営業成績がとても良かったから、という可能性など。)彼は自分の考えが間違っているとは夢にも思わなかった。自分の考えを疑い、それを問いただし批判的に検討することをしなかった。
[してはならないこと]疑いや予想や想像をよく検討もしないうちに、それらを取り消すことができないほど大きなものに成長させてしまってはならない。どんなによい考えでも、それを無批判に受け入れ、検討を怠れば、最終的にはまったく役に立たなくなる。
●図:
正三角形でも二等辺三角形でも直角三角形でもない「一般的な三角形」を描くには、45°、60°、75°の角をもつ三角形を描くのがおすすめ。
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落合陽一さんが薦めていて拝読。数学の先生が書いた本らしくて、パッと見、期待していたものと違ったのだが、ありとあらゆる問題に共通らしい。そこまでメタな視点を持てということなのかもしれない。
本編は少なくて、後段3分の2ぐらいは用語解説になっている。いや、なんなら裏表紙の2ページで要点は簡潔している。
第1に、問題を理解しなければならない。
第2に、データと未知のものとの関連を見つけなければならない。そうして解答の計画をたてなければならない。
第3に、計画を実行せよ。
第4に、えられた答を検討せよ。
これって、See-PDCAって感じやんな。
古い本でちょっと印字が読みづらい。落合効果なのか買った後に新版が出ていてちょっとショックだった。
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数学ガールで紹介されていて、手に取ることになった本。問題の読み方や自分への問いかけをどのようにしていけば理解が深まるかを教えてくれる本ですね。数学をやっていて行き詰まりを感じたら手にとりたい本です。
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未知の問題に出会った時は
似た問題を解いたことがないか
少し条件を工夫して、見たことのある問題に変えられないか。
直感や予測を大事にしろ
特殊なパターンによせると、単純化できないか
文体に少しクセのあるので、読みづらい部分もあるものの、内容はそこまで難しくない。