紙の本
解析超入門2
2019/02/24 21:57
2人中、1人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。
投稿者：類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る
微分の他に数列や極限の知識も必要だが, 直観的ながらも積分とは何かとりあえず知るには良いのではないだろうか. 他の数学ガールと同様に詳しくていねいかつ視覚的にもわかりやすい. 解析学を始める第一歩のうちの一冊としては良書であろう.
ただ「定積分は原始関数の差」とあるのは正しくは「定積分は原始関数の値の差」である. またlim_(θ→0)sinθ/θ＝1の証明は, θが或る自然数nを用いてθ＝2π/nと表される場合に限る. (しかも厳密性を追求すると実は有名な初学者向け循環論法である) また指数関数を冪級数で定義しているがそれにマクローリン展開など背景の説明はない.
だが, 関数の積の微分の公式を長方形の面積の増分を考えることにより説明しているのは見事であった. また原始関数と不定積分を区別しているのも, ★をひとつしか減らさなかった理由である. 原始関数と不定積分の区別は, 解析学の立場からは重要なことである. 微分や積分の対象となる関数が冪関数に限らないよう工夫されており, エピローグでは, 微分と積分を図形的に説明しているので, 積分のおもしろさがわかると思う.
「数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて」を読んでから読むと良いであろう.
なお, 積分は解析学だけではなく幾何学や代数学およびそれらの融合分野である多変数複素解析や表現論にも用いられる. また本書で解説されている区分求積法では図形
{(x, y)∈Ｒ^2|a≦x≦b, y＝f(x)}
の面積を縦の長方形に分割して考えるが, 横の長方形に分割することで一般的あるいは抽象的な関数の積分を考えるルベーグ積分という積分もある.
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積分は質点移動が一番例に出しやすいよねという入りから、等加速度でない場合の例(これ大学入試でたまに見かける)まで物理の話。
そこから極限についてはややぼかしつつも区分求積法とはさみうちで非線形関数の積分をしていったり、線型性の証明をしたり。高校〜大学教養最初あたりの数学の話として良いと思います。
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数学ガールの秘密ノート積分編。
高校時代にこんな本を読んでたら、もっと数学が得意になってたかもしれないと思う。今の高校生はいいなぁ(どれぐらいの高校生が読んでるか知らないけど)。
今回はミルカさんはほとんど登場せず。まあ、ミルカさんが登場すると急にレベルがあがる感じがするし、仕方ないかもしれないけど……(「数学ガール」シリーズではメインヒロインだというのに)。
後、このシリーズの主人公、時々、変態かと思ってしまう箇所があるのだけど、なんなんだろう。今回でいうと、テトラに丸いカードを両手で持たせて頭上に浮かべ、にっこりと微笑ませたとか。なんとなく、モデル撮影のポーズ指示っぽかった。
それと、エピローグの円錐の図(231ページ)が、う○ちにしか見えない。
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文系のため高校で積分やった覚えないけど、なんとか理解できた！微分が分からなくなって、去年読んだ微分編を読み直しつつ読んだ。
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積分について丁寧に説明されていて、自分が高校生の時に受けた積分の授業を思い出した一冊だった。初心者向け、よくわかっていない人向けなので深い話を期待すると全く無いので悲しいが、よくできている本だと思う。
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図書館が閉鎖されるので、何度も読み返すことができる本を・・・・ということで借りた本。式の導き方なおｄ。円錐、球とπｒとの関連など会話形式でわかりやすかった。
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積分の基本的なところから入って、最終的には、極限を使って円の面積がきれいに求められるようになります。
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3.5
個人的には円の面積や体積と積分の関係や区分求積法がわかりやすくなっていてよかった。あと、式の形や和の形、積の形という理解も良いと思う。
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前に読んだ数学ガールのニュートン力学の最終章で積分が出てきてわからなくなったため、こちらの数学ガールの秘密ノート積分を見つめて、で積分を先に学ぼうと思い読み始めました。
自分は高校生のとき微分だけを中途半端に学び、積分は全く学ばなかったので、微分と積分は互いに逆の関係が成り立つ、という程度の知識しかありませんでした。それは間違ってはいないようですが、実際に計算するとなると微分よりも積分のほうがとっつきにくい面があります。この本に出てくるテトラちゃんが躓くところはだいたい自分も躓いていました。
まず式での表し方として積分ではインテグラル（∫）が登場します。そしてその記号の右側の上下に数字または記号はくっついています。この意味が普通、すっと入ってきません。ある区間の面積を求める際に「下の記号がさす範囲から上の記号がさす範囲」ということが丁寧に説明されていて理解することができました。
また∫の右側の式では式＋dxという形になっており、これは単に「積分する」という意味であることも丁寧に説明されています。Σとの関係（Σも合計を示すものだから）についても説明されていて面白かったです。
その式によって何を表すのか、場合によっては式の部分部分が何を意味するのかを理解した上で計算をすることは、自分が何をしようとしているかを整理するためにとても大事であると思います。
今回は円の面積は無限大に分割した扇形の面積の合計であるという考え方に基づいて、円の面積は積分によってπr二乗によって求められることを証明します。
このとき、三角関数（sin, cos, tan)の考え方も利用する必要ありました。自分はそこは復習しました。
はさみうちという考え方で円の面積を積分の考え方で導く方法は現実世界の考え方に即していてとてもきれいだと感じました。「対象の円を無限台に分割したとしたら」はさみうちにつかった両側の面積はそれぞれはさみうちされた円の面積の大きさに収束する、というとてもきれいな結果を導くことができます。
このとき極限の公式を使います。θを0に限りなく近づける場合、sinθ/θ=1に収束するというものですが、ここは自分もテトラちゃんと同じように0/0（0除算のエラー）になってしまうのでは？と疑問を持ちました。ただ、図形でsinθ、θそれぞれが表すものを考えると、それは1:1に収束するので、全体として1に収束するというように理解できました。
微分は瞬間瞬間の状態を表すものですが、積分は瞬間瞬間の合計を無限に細かい単位で集めるときに使うもので、自分の日常生活でもなくてはならない考え方です。ある時間の間における移動距離とか、ランダムな形の面積であるとか、さまざまありますがとてもきれいな方法で計算できるということがわかりました。
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面白かった。積分って区分求積法使うんだ。
はさみうちを使って円の面積求めるとか楽しかった。
物理好きだから微分積分はそれなりにわかってるつもりだったけど、まだまだ新しい視点が得られた。
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最後のエピローグ
円錐と球の話が面白かったです。
昔読んだ、ブログを思い出しました、
大学で講義をするために、
準備として自分で微分積分から、公式を導き出すって
教科書にある公式のその裏の考え方を自分のものにする時間。
公式を覚えるのではなく、
その動かし方変形の仕方を自分の物にする。
公式として一気に等号で結ばれた形で表されるけど
そこに至らせるための計算。
式の形を
見抜いて、生かして、変形していく。
数学の考え方は
算数の頃から使っている。
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高校生ぶり、18年ぶりに学生らしい数学に触れた感じがした。定義の証明とか基本のき「き」が中心なわけだけど、忘れてたことを思い出したり、なるほどと思うと、頭がすごくスッキリする◎
