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電子書籍

「数学ガール」シリーズ

著者 結城浩

※この電子書籍は固定レイアウト型で配信されております。固定レイアウト型は文字だけを拡大することや、文字列のハイライト、検索、辞書の参照、引用などの機能が使用できません。

高校生チームは、サイン・コサインから始まって三角関数の加法定理と回転行列を、中学生チームは、サインカーブ、リサージュ図形、そして円周率を電卓で求める方法を学びます。三角形や円などの具体的な図形を通して、三角関数の不思議で興味深い性質が明らかになっていきます。本書全体を通して、三角関数の知識が増えることはもちろんのこと、数学への取り組み方や、仲間といっしょに問題に立ち向かう方法論についても体感することができるでしょう。中学生・高校生をはじめとして、数学を楽しみたいと思っている社会人にもお勧めできる一冊です。

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評価内訳

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紙の本数学ガール ポアンカレ予想

2019/02/24 22:05

数学の深さと広がりがわかる本

3人中、3人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る

数学の難問を説明するには, それなりにいくつもの分野から必要となる概念や定理を取り出して説明するだけではなく, それらを読者または聞き手が道具として認識できる程に理解しなければならない. そして著者または発表者は, 予備知識を殆んど仮定できない状況において, 非常に多くあるそれらを理解されるように説明しなければならない.

本書の主題がポアンカレ予想に関する解説であると考える人もいるが,「数学ガール」というシリーズの意図と著者の意向では, 数学徒内外の多くの人にポアンカレ予想について少しでも知ってもらうように著された物語風の解説書, と考えるのが正確だろう.

私も, ナビエ-ストークス方程式のミレニアム問題(流体力学の基礎となる偏微分方程式の適切な解の一意存在問題とその解の可微分性)について多変数関数の微分積分から始めて代数系や位相および測度とルベーグ積分などを必要に応じて説明し, ミレニアム問題の意味と進展まで説明しようと執筆のメモまで用意してあるが, やはり本書のように, いきなり本題に入れるのは限られた場面だけで, 最終目標に達するまでかなりの準備を要する.

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面と同相である」という主張を数学ガールのシリーズで説明できたこと自体が高く評価されるべきなのだ. 単連結という語は「穴がない」ことであるが, 厳密に表現するには, 基本群の他でも, ホモロジーやコホモロジーあるいはコーシーの積分定理の位相幾何的考察など, 進んだ数学が必要である. 物語として不自然にならないようにしつつ閉多様体の概念を述べるのも, 数学の専門書に慣れているとは限らない読者層にも配慮するとなれば, 本書にあるような説明はかなり自然な物だと思われる. 熱伝導方程式とその解の平滑化の説明がポアンカレ予想におけるリッチフロー方程式の性質の理解に役立つのは, 本書をていねいに読めばわかるはずである.

本書は図説がとても多く, しかも見やすい上に, 文も読みやすいだけではなく, 幾何学と代数学そして解析学が融合して, さらに物理学まで関係していく様子を, 臨場感を味わいながら楽しく学べる. また, 始めあたりのグラフ理論の話も, 当然内容の理解に必須ながら, 私はここを読んで「離散数学で使われる位相が離散位相なのか…だから冪集合が定める位相を離散位相というのか」と位相を学んで8年来の疑問が晴れた. また位相の導入では自分が普段数学を教えている時と同じことが書かれていた. やはり世の中には自分と同じことを考える人がいるのだなと感じた. 位相の説明は, 位相を実際に教える上でも役に立った.

また非ユークリッド幾何学についても入り口をかなりていねいに解説しており, 多様体の計量の概念を深く理解することができた. 詳細は省くが, 或る種の複素多様体では計量が存在するか自明ではなく, その計量を未知関数とする非線型偏微分方程式の解の一意存在問題によって解かれる. このことを, より本質から理解したいので, 非ユークリッド幾何学の説明が最も思い出に残っている.

終わりにデルタ関数という超関数が現れるのも, 超関数愛好者としてはうれしかった.

幾何学のおもしろさだけではなく, 代数学と解析学と物理学のおもしろさまで楽しめつつわかる本である. 収穫は位相幾何の入門事項だけではない. ぜひゆっくりていねいに読んでみていただきたい.

私は, ポアンカレ予想を知って, また知り合いから「位相幾何でも微分形式の積分でルベーグ積分を使う」と聞いて, 位相幾何に興味を持った. その理解の第一歩となった本である.

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数学の深さと広がりがわかる本

3人中、3人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る

数学の難問を説明するには, それなりにいくつもの分野から必要となる概念や定理を取り出して説明するだけではなく, それらを読者または聞き手が道具として認識できる程に理解しなければならない. そして著者または発表者は, 予備知識を殆んど仮定できない状況において, 非常に多くあるそれらを理解されるように説明しなければならない.

本書の主題がポアンカレ予想に関する解説であると考える人もいるが,「数学ガール」というシリーズの意図と著者の意向では, 数学徒内外の多くの人にポアンカレ予想について少しでも知ってもらうように著された物語風の解説書, と考えるのが正確だろう.

私も, ナビエ-ストークス方程式のミレニアム問題(流体力学の基礎となる偏微分方程式の適切な解の一意存在問題とその解の可微分性)について多変数関数の微分積分から始めて代数系や位相および測度とルベーグ積分などを必要に応じて説明し, ミレニアム問題の意味と進展まで説明しようと執筆のメモまで用意してあるが, やはり本書のように, いきなり本題に入れるのは限られた場面だけで, 最終目標に達するまでかなりの準備を要する.

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面と同相である」という主張を数学ガールのシリーズで説明できたこと自体が高く評価されるべきなのだ. 単連結という語は「穴がない」ことであるが, 厳密に表現するには, 基本群の他でも, ホモロジーやコホモロジーあるいはコーシーの積分定理の位相幾何的考察など, 進んだ数学が必要である. 物語として不自然にならないようにしつつ閉多様体の概念を述べるのも, 数学の専門書に慣れているとは限らない読者層にも配慮するとなれば, 本書にあるような説明はかなり自然な物だと思われる. 熱伝導方程式とその解の平滑化の説明がポアンカレ予想におけるリッチフロー方程式の性質の理解に役立つのは, 本書をていねいに読めばわかるはずである.

本書は図説がとても多く, しかも見やすい上に, 文も読みやすいだけではなく, 幾何学と代数学そして解析学が融合して, さらに物理学まで関係していく様子を, 臨場感を味わいながら楽しく学べる. また, 始めあたりのグラフ理論の話も, 当然内容の理解に必須ながら, 私はここを読んで「離散数学で使われる位相が離散位相なのか…だから冪集合が定める位相を離散位相というのか」と位相を学んで8年来の疑問が晴れた. また位相の導入では自分が普段数学を教えている時と同じことが書かれていた. やはり世の中には自分と同じことを考える人がいるのだなと感じた. 位相の説明は, 位相を実際に教える上でも役に立った.

また非ユークリッド幾何学についても入り口をかなりていねいに解説しており, 多様体の計量の概念を深く理解することができた. 詳細は省くが, 或る種の複素多様体では計量が存在するか自明ではなく, その計量を未知関数とする非線型偏微分方程式の解の一意存在問題によって解かれる. このことを, より本質から理解したいので, 非ユークリッド幾何学の説明が最も思い出に残っている.

終わりにデルタ関数という超関数が現れるのも, 超関数愛好者としてはうれしかった.

幾何学のおもしろさだけではなく, 代数学と解析学と物理学のおもしろさまで楽しめつつわかる本である. 収穫は位相幾何の入門事項だけではない. ぜひゆっくりていねいに読んでみていただきたい.

私は, ポアンカレ予想を知って, また知り合いから「位相幾何でも微分形式の積分でルベーグ積分を使う」と聞いて, 位相幾何に興味を持った. その理解の第一歩となった本である.

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紙の本数学ガール ガロア理論

2019/02/24 21:59

代数学のおもしろみを知りたい方におすすめ

2人中、2人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る

数学ガールというシリーズにはポアンカレ予想編が出てから興味を持った.

まずシリーズに共通して言えることは, 初学者の誰もが考えそうな理論それ自体についての動機や意義に関する疑問およびそれらに対する答えを明確にしていること, 初学者が陥りそうな誤りに関することをわざと台詞に入れていること, 主人公とその後輩の純愛物語としても楽しめるということである.

代数学について知りたいのなら, その方面の入門書を読むことをおすすめする. 本書では, 入門書や専門書では省略されがちな細かい説明がある分, 群や線型空間の具体例は少ない. 任意の線型空間Vにおいて定数倍の演算を忘却するとVは群になる. また任意の体Kにおいて積を忘却するとKは和について群となり, またKにおいて0でない要素全体の集合は積について群となる. 本書では線型空間を, アーベル群であり和と定数倍の演算に関して閉じていて結合法則や分配法則を満たす集合として(つまり線型空間の公理系で)定義しているが, その定義が書かれた198ページ目より前にアーベル群という言葉が出るのは96ページ目から99ページ目であり, 198ページ目まで群の例は実際にあみだくじの成す群しかないのである. そこは群をはじめて学ぶ人にはきついであろう. また背理法も既知としている. この辺りは「数学ガール フェルマーの最終定理」を読んでいることを前提としているのかもしれない.

とはいえ, 群論を学ぶ意義がわかり代数学のおもしろみを味わえる上にガロア理論に最短経路で挑める名作である. 数学ガールを気に入った人や代数学のおもしろみを知りたい人におすすめしたい.

なお, 現在では登場人物のように数学が得意な中高生はいくらでもいる. このことは長くTwitterをやっているのでわかる. 数学が得意な中高生が多くなったのは本シリーズがきっかけでもある. 決して不自然なことではない.

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よい

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投稿者:イ! - この投稿者のレビュー一覧を見る

数学ガールは,分かりやすく,深いところまで知ることができる.物事の捉え方の視点が多く,既知の事実でもハッと思わされることが多い.

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とても役立ちました

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:mllm - この投稿者のレビュー一覧を見る

以前から数学ガールのファンでしたが、たまたま微分方程式について勉強する必要があり、目次を見て本書を買いました。
他のどの教科書よりもとっつきやすい説明であり、大いに助かりました。

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整数論超入門

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る

フェルマー予想の証明を軽やかに論理展開だけでも分かるように解説することを最終目標に, 初等整数論の基本事項(互いに素・ピタゴラス数・原始ピタゴラス数, 剰余など), 代数学の初歩(群・環・体, の定義と例), 解析学の初歩(指数関数・冪級数・オイラーの公式)がていねいかつ誘導的に, なるべく初等幾何的に説明されているが, それだけではなく, 背理法を最終段階に用いるので, 背理法も初等整数論と関連する形でゆったり説明している.

私はピタゴラス数が無限に存在することは知っていた. また座標平面における単位円周上に有理点が無限に存在することも高校数学の学習参考書で中学生の時に知った. しかし原始ピタゴラス数が無限に存在することは座標平面における単位円周上に有理点が無限に存在することに同値であることは本書で初めて知った. また三辺の長さが自然数かつ面積が平方数になる直角三角形は存在しないこと及びその証明を無限下降法の導入とし, それを用いてn=4の場合のフェルマー予想を証明しているのは感動した.

またフェルマー予想の証明のあらすじも容易に理解することができた. よくある「谷山-志村予想が正しければフェルマー予想は正しい」という説明の意味がようやくわかった. ゼータ関数の理論の発想も知ることができたのは複素解析で既にリーマンのゼータ関数に触れていた私にとって貴重な体験になった. 詳細まではわからなかったが, これから更に整数論とそれに関連する代数系や代数幾何を学んでいくモチベーションにはなりそうである.

私は整数論を, 幾何学・代数学・解析学の融合分野と見ている. それが本書でも感じられた.

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紙の本数学ガール 乱択アルゴリズム

2019/02/26 12:09

ストーリーを楽しみながら数学が理解できる好評のシリーズです!

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:ちこ - この投稿者のレビュー一覧を見る

『数学ガール』シリーズは結城浩氏による興味深いストーリーを追っていくことで、数学が自然と身に付くという画期的な書です。同書は乱択アルゴリズムをテーマとしており、主人公と数学の興味をもった少女たちが繰り広げる様々な会話や行動を楽しみながら、アルゴリズムを理解していけます。「数学ってこんなに楽しいんだ!」と、私たちの数学に対する印象を変えてくれる一冊です。

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紙の本数学ガール ガロア理論

2019/02/25 12:22

結城氏の好評シリーズ『数学ガール』のガロア理論編です!

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:ちこ - この投稿者のレビュー一覧を見る

本書は、数学をストーリー仕立てで解説してくれる好評のシリーズ『数学ガール』のガロア理論編です。難しいガロア理論もようやく同シリーズで取り扱われるようになって、多くの人が同書に目を通されることで、理解する人の数も増えていくのではないかと密かに期待させてくれます。主人公と数学好きの女の子たちが来る広げるストーリーを楽しみながら、数学の知識を習得していってください。

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結城氏の人気シリーズが「フェルマーの最終定理」を扱います!

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:ちこ - この投稿者のレビュー一覧を見る

本書は、結城氏による人気の「数学ガール」シリーズの一冊です。同書では、かの有名な「フェルマーの最終定理」が扱われます。フェルマーが「この証明を書くには、この湯博は狭すぎる」という謎の言葉を残した17世紀以来、この難問は「フェルマーの最終定理」として数々の偉大な数学者によって解答が試みられてきました。同書では、ワイルズが行った証明を一つひとつ検証していくのですが、そのために、ピタゴラスの定理、素因数分解、最大公約数、最小公倍数、互いに素、背理法、公理と定理、複素平面、剰余、群・環・体、楕円曲線など多様なテーマにも触れていきます。とても興味深い作品です。

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結城氏の人気数学書、数学ガールの第3弾です!

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:ちこ - この投稿者のレビュー一覧を見る

本書は、結城氏による人気シリーズ「数学ガール」の第3弾です。今回はゲーデルの不完全定理に焦点を当てています。ゲーデルと言えば、20世紀に証明された彼の不完全定理が有名で、これは数学界はもとより、哲学界にも大きな影響を与えたと言われています。その不完全定理を分かり理解できるように、集合と論理を基礎から徹底的に講義し、その全体を理解していけるように工夫された数学書です。ぜひ、数学ファンには読んでいただきたい一冊です。

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紙の本数学ガール

2019/02/06 10:46

3人の高校生が数学の問題に挑戦するストーリーです!

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:ちこ - この投稿者のレビュー一覧を見る

本書は、著者である結城浩氏のウェブで公開された「数学ガール」を書籍化したものです。同書はシリーズになっており、本巻は3人の高校生が数学の問題に挑戦するストーリーが展開されます。その問題は、素数や絶対値、すこし高度なフィボナッチ数列二項定理、無限級数などです。ぜひ、ストーリーを通して、数学の世界を楽しんでみてはいかがでしょうか。

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着実に前に進める

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:ドングリ - この投稿者のレビュー一覧を見る

フェルマーの最終定理に行き着く前に代数の入門的な内容が長く続きます。一つ一つ手取り足取り進んでいくので置いてけぼりにされることはないでしょう。他のシリーズの読みたくなりました。

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最高!

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:Σ - この投稿者のレビュー一覧を見る

前作に引き続き読みましたが、数学ってやっぱ面白い!と思います。受験数学とかではなく、登場人物が本当に数学の、世界を楽しんでるという世界観がとっても気に入っています!

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紙の本数学ガール ポアンカレ予想

2019/03/30 13:14

高度な内容をわかりやすく説明

1人中、1人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:山猫 - この投稿者のレビュー一覧を見る

数学ガールシリーズの最新刊(6).位相幾何学という難しいテーマを,今までのシリーズで話題になったやり方の延長で,やさしく説明している.それでも新しい概念が登場するので,読むのに時間がかかってしまった.
主人公の男子高校生を取り巻く,「数学ガール」たちとのやり取りも,青春学園もの風で,難しい内容の間の一休みになっている.

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他の方もおっしゃっていますが

0人中、0人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。

投稿者:JOLLYeeic - この投稿者のレビュー一覧を見る

まず、ペアノの公理についての項目、並びにε-δや対角線論法などについてはわかり易かった。

他の方も指摘する通り、ゲーデルの不完全性定理についての項目が、開幕4ページくらいで初見は意味不明になってしまい、現在全力で解読中。
しかしこの項目がわかりにくいのかと言えばそれ以前の問題で、メタ数学への入り口の項目(5章)が既にわかりにくい。僕は少なくとも真理値表についてはユーリちゃんレベルの理解にすらおぼつかず、A、Bの真偽がA→Bの真偽に直接関係するのか?という所から既に意味不明でした。
それもさることながら、特にわかりずらかったのが、「形式的体系」と「実際の数学」との結び方。ここは作中でも(少なくとも9章までの内容では)これとこれがつながっている、と非常に曖昧な表現をしています。
形式的体系は少なくとも僕達の考える世界の遙か遠くにあり、ひたすら事務的に弄る事で新たな定理を導いたりする。これについては理解出来ました。しかしこの形式的体系における定理と、数学の定理が如何に結びついているのか、それについての説明が一切無いから、何の為に形式的体系を導入したのかがサッパリ分からないのです。

形式的体系で証明できたからなんで数学の不完全性が証明できるのか。それについての解説、どなたか下で補足してくださりませんかね?

不完全性定理の内容についてはうーんとなりましたが、メタ数学以外の内容はわりかしスッと読めたので3点。
ガロアの群論についても購入したので、楽しみにしてます。

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