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集合・位相入門
著者 松坂和夫著
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集合は，数学のあらゆる部門で使われ，現代数学を語るための基礎的な言語の性格をもつ．位相は，集合の上に与えられる数学的構造のうち最も重要なものの1つである．高校数学を修めた初学者が，自然に基本概念を習得して現代数学に入門できるように工夫．長年にわたって学生・教員に支持されてきたロングセラーの新装版．
集合・位相入門
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集合・位相入門 新装版
2019/07/20 05:53
私が数学の道を歩む際の指標になった本
11人中、8人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。
投稿者：類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る
古い本に時々あるドイツ文字と, それらに対応しているアルファベットの表があり, 他書を読むにも役に立つ. 全体にわたる詳細な説明の他にも, 他の本に書かれていないことは, いくつかある.
空集合は任意の集合の部分集合であることを, 論理学の根幹にあるふたつの基礎と対偶の原理を認めるなら「証明」可能であると明記している. そして納得のいく証明がある. この部分は(1＋1/3)ページ分で済ませられている. しかし抜けは無い.
「{}⊆A」は論理学の立場から観ると「自明」なのだが, 高校数学からの接続を図って書かれた大学数学の本には, 杉浦「解析入門1」の付録に本書より厳密かつ豊潤に書かれてあるくらいだろう.
(選択公理が必然的に必要で通読には必須ではないが)有限生成な群の極大な部分群の存在証明と線型空間の基底の存在証明をしている. これらを同じ本で知ることができるのは珍しいだろう. 線型代数の本で基底の存在証明には, (理論上)自明な選択公理が使われているが, 本書では無限次元の場合まで含めているのだ.
無限次元の線型空間に基底が存在することを保証するには, どうしても(自明でない)選択公理が必要になる. 選択公理を適用する具体例と有用性が, 両者により分かると思う. 他書では, 位相空間論において, 空でない位相空間の直積が空でないことなど, 位相空間の範囲で例示されている場合が多い.
ただし, あくまで「存在定理」は構成に何も言えない. 任意有限個の線型結合ではなく任意有限個の線型結合の極限(ノルム収束)の意味なら, 関数解析における(可分な)ヒルベルト空間に, 基底は三角関数あるいは多項式により構成されている. これは数理物理学からの要請による. 広く知られていないけれど, 可分なバナッハ空間にも(ノルム収束の)或る意味の基底は存在する. ノルムとバナッハ空間については本書にも説明がある.
Ｒ^nの点集合論による位相空間の前置き, 距離空間の前置き, それぞれが先々を見通しているだけではなく, 読者の理解の速さに配慮した形で語られている. 例には他書とは違い, 開基, 部分集合の特徴付け, 連続写像, 基本近傍系, などの事項もある. いきなり開集合系を与えることは最近では少なくなってきたようだが, 初版から50年を過ぎている今も読み継がれる常に好評な本書によると考えていいだろう. 距離空間の完備化などの証明を写されたことも多々ある.
読者に練習問題として任せた, 行間・事項・証明, などは, どれも何故か解いていて楽しい. 省略された内容は自ずと実力が高まる程度であり, 節末の問題には, 本文の拡充も今までの理解を確かめられる問も多い. 見たら直ぐに見当や方針が浮かぶ時も, 簡単ではない時も度々あるが, 自力で解ける時もよくある. そして何故か問題と向き合うと不思議に面白く感じる.
序文では高校生でも理解できるように説明したとある. 実際に私は高校生の時に読み始めたのだが, 難なく無理なく読み進められた. 順序対の定義は感覚的で, 写像と同値関係の定義も感覚により述べてから「逆」として「定理」の形で述べられているが, 初学者には, そのほうが分かりやすいかもしれない.
前半の写像まで読み, そこから位相空間へ進むと早く読めると感じた. 必要なら位相空間の最小限を済ませてから, 解析学の主な舞台である距離空間へ進んで前の事項を参考にしながら読む方法も, 効率が良いかもしれない. 誤植は１箇所しかない.
なお, 読みにくさについて私は気にならない程度だと思う.
集合論の初歩と位相空間論は他には
庄田 集合・位相に親しむ
内田 集合と位相
森田 集合と位相空間
がおすすめである.
集合・位相入門 新装版
2019/02/06 09:51
非常によくわかる「数学入門シリーズ」の第1巻 集合と位相のついてです！
3人中、3人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。
投稿者：ちこ - この投稿者のレビュー一覧を見る
本書は、数学入門シリーズとして出されている第1巻の集合と位相についての書です。集合と位相は、数学の内容の中でも一際複雑で理解し難いテーマとして考えられています。しかし、集合は日常生活のあらゆる場面で使われ、現代数学の基礎的な言語の性格をもったものと言えます。他方、位相は集合の上に与えられた数学的構造のうち最も重要なものの一つです。こうした集合と位相について、分かりやすく解説した数学書です。
