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解析入門
著者 松坂和夫著
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微積分の入門から始めて，線形代数，フーリエ級数，複素関数論，微分形式やルベーグ積分などの現代的なテーマまで，一貫した構想の下に説き進む．旧版全6巻を2巻ずつ合本にした新装版．（上巻）数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数／関数の近似，テイラーの定理／積分法／積分の計算／関数列と関数級数／n次元空間
解析入門 下
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解析入門 中
2019/07/06 18:37
解析学に偏らない解析入門
4人中、2人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。
投稿者：類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る
上巻を読み終えたか,「入門微分積分学15章」などで１変数の微分積分を学び終えた方が, 多変数関数の微分積分を学ぶためには, 杉浦の解析入門にかなり近いほど厳密に記述する準備をしてから始める本格派である. 集合論の初歩・距離空間の位相・連続関数環の章を経てから, 多変数関数の微分に入る. 上巻と同様, 全体が理論的に強固な印象がある. 予備知識を仮定せず厳密性と完備性を追求する形の本で本書ほど読みやすい本はないだろう. 少なくとも理論的にはわかりやすい.
長い目で見れば現代数学の多分野を学ぶ際に必要になる集合と位相の理論を, 予備知識を仮定せずに, また後の章や環論・関数解析とつながる形で前もって述べているのは著者なりの工夫であろう. 図説もあるが, 自分なりに図を描いたり調べたりして読み進めることをおすすめしたい. いきなり多変数関数の微分積分に入りたい方はラングの「続 解析入門」を読むのが良いであろう.
ちなみにclopenという単語が載っている日本語の本としては唯一ではないかと思う.
実２変数実数値関数のグラフは曲面になると図も用いて説明しているが, なぜ曲面になるのか, 実際に高校生に教えていた時に疑問を持たれたので念のため言うと,
{x^2＋y^2≦r^2}
で定義された実２変数実数値関数
z＝√(r^2−(x^2＋y^2))
のグラフは球面
{x^2＋y^2＋z^2＝r^2}
の上半分であることから納得がいくと思う. 実例のグラフによる図説は本書にはなかった.
また多変数関数の極値問題を, ヘッセ行列が定める二次形式の性質により説明しているが, その幾何学的な意味は説明されていない. 関数z＝f(x, y)が(x, y)＝(a, b)で極小であるときz＝f(x, y)のグラフは点(a, b, f(a, b))の近傍で下に凸の楕円放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ここでα,β＞0はfのヘッセ行列の固有値である. 極大となるときは(a, b, f(a, b))の近傍で上に凸の楕円放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ここではα,β＜0でありやはりヘッセ行列の固有値である. (a, b)が鞍点, すなわち極大でも極小でもないときはfのグラフは(a, b, f(a, b))の近傍で双曲放物面
z＝α(x−a)^2＋β(y−b)^2＋f(a, b)
で近似できる. ただしαβ＜0である. 背景には多様体論のモースの定理がある. ちなみに２変数の場合は良く知られた平方完成による説明も併記している.
陰関数定理や二次形式を述べるために線型写像や行列式および対角化の章も設けてある. 行列式の章は初学者でも読めるであろうほどていねいに書いてあるが, やはり線型代数は既知のほうが読みやすいと思う. 行列式についてはあいまいな理解でも問題ないだろう.
難点も挙げてきたが, 陰関数定理に関連して階数定理という定理を挙げて証明し多変数関数のグラフが曲面になることを証明している. また陰関数定理それ自体２変数の場合にはわかりやすい古典的な証明を先に提示している. １変数実数値関数の凸性についての定理を多変数に一般化して多変数関数のグラフについて凸性の幾何学的な意味を明らかにしているのは良いであろう.
また多重積分は下巻で扱われているが, 反復積分および広義の反復積分の順序変更可能性が紹介されているのも良いであろう. この節では, 連続関数環の位相的性質が使われている. また, この節に微分方程式も例にあるのはおもしろい.
フーリエ級数の章があるのは, 位相・解析学・線型代数とのつながりを提示するためかもしれないが,「解析概論」や「続 解析入門」に倣ったのかもしれない. しかしどのみち理工学では重要だし, 線型代数の理解も深まる良い話題であろう.
解析入門 上
2019/07/06 18:22
解析学からの現代数学入門
5人中、2人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。
投稿者：類太郎 - この投稿者のレビュー一覧を見る
高校数学程度の微分積分を学び終えた方にとって, 最もていねいで読みやすく簡潔な解析学の入門書であろう.
解析学の入門書としては, 問題も含めて微分積分の基本的なことは大体書いてあり, 初学者にとって難解な定理や概念もわかりやすく解説しており, 実例が多く, 実数論も欠かせていないのは高く評価したい. しかもＲやＣの構成は初読の際は飛ばしても差し支えないようにしてある. 三角関数の定義は平面幾何学によるものであり厳密ではなく初学者向けの有名な循環論法を含むのだが, 後に複素関数の意味で冪級数により三角関数を定義し直しているので, 厳密性も全体的に高くなっている. 三角関数の節にも重要な内容がいくつかあるので, 三角関数は既知でも読んでみることをおすすめしたい. また対数関数を事実上log(x)＝∫[1, x](1/t)dtで定義しその逆関数が存在することを示してlogの逆関数をexpと定義するのも理論的でおもしろい.
全体的に「関数f(x)」という言い方は極力避けて「関数f」「関数y＝f(x)」の形で書いているのも厳密性の高さを感じる.
∫[a, x]f(t)dtの形の関数を積分関数と呼び, aを特定せずCを任意の定数として∫[a, x]f(t)dt＋Cと表される関数の総称を不定積分とし, fが連続関数の場合に限って同義語として, 原始関数と不定積分を明確に区別しているのも理論的に良好である.
代数系・初等整数論・平面幾何学との関連もわかる. 実数論については√2が無理数であることの完全な証明もある. 一般に正整数Nがk乗数でないときNのk乗根が無理数であることも証明している.
図説も多く, Ｒの構成は「新訂版 数理解析学概論」と同じくＱの切断全体の集合とするもので, 直観的にもわかりやすいであろう. 広義積分の収束問題についても興味深い図説がある. ε-論法についても図説だけではない独特の解説があり初学者にやさしい. なおＲをＱの切断全体の集合として構成するのは「新訂版 数理解析学概論」によれば順序数という概念に基づき, 私にとって数とは何か考える上で重要であった.
導関数に微分可能性が遺伝しない例・ガウス積分・スターリングの公式・連続性や微分可能性と一様収束性の関係・定義域全体で微分不可能な連続関数などおもしろい例もいくつかある.
ただ, 最終章にある中巻の多変数関数に向けた線型代数は, 既知のほうが読みやすいであろう. ただ予備知識としては仮定していない書き方になっている. どちらかというと復習または理論の完備性のために書かれてある印象である.
数学を初歩から理論的に学びたい方にもおすすめしたい. 問題は解けなくてもいいので目を通して理解し, 重要そうな結果は記憶しておくと良いであろう. 本文の殆んどの定理には比較的わかりやすい証明が付いている.
なお, 中巻の第11章の集合論も本書を読むのに役立つ.
ラングの解析入門は解析学の入門書としては簡単すぎるが, 杉浦の解析入門は分量が多く難解と感じるなら, この解析入門が解析学に偏らない現代数学の入門となり良さそうである. 誤植は見当たらなかった. 印刷の質も問題ない.
解析入門 上
2019/02/06 09:54
誰にでもわかる「数学入門シリーズ」の第4巻 解析について書かれた数学書です！
2人中、2人の方がこのレビューが役に立ったと投票しています。
投稿者：ちこ - この投稿者のレビュー一覧を見る
本署は、非常に分かり易く解説されていると評判の「数学入門シリーズ」の第4巻名です。同書は、解析について書かれていますが、微積分の入門から始まって、線形代数、フーリエ級数、複素関数論、微分形式やルベーグ積分等、現代的なテーマに至るまで、非常に詳しく、分かり易く説明されています。ぜひ、解析学をマスターしたい人には読んでいただきたい良書です。
