関数解析 （ちくま学芸文庫 Math & Science）

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投稿者：類太郎　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

良い点
・誤植が殆んど無い
・ほぼ全ての定理が証明付きである
・関数解析の和書としては珍しく線型作用素の半群の理論が書かれてある(偏微分方程式論で重要)
・有限次元空間と無限次元空間の共通点や相違点が明確であり詳しい
・ボホナー積分の解説もある
・具体例において関数の変数を関数空間の要素を表すx, y以外の文字にしている
・問題は理論的にも重要な物が多い
・ハーン-バナッハの定理の有用性があらゆる場面で身に染みてわかる

良くない点
・記述, 特に証明が初学者向けではない
・ハーン-バナッハの定理の証明に先立つ順序集合の説明が論理的におかしい(既習者は容易に訂正できる程度だが)
・内積の連続性を暗黙の了解で用いている(※1)
・一様有界性定理において添え字集合が無限集合であるという仮定は不要である
・図説がないとわかりにくい箇所がある
・ノルム空間における三角不等式
| ||x||−||y|| |≦||x−y|| (※2)
を既知としているが, 本質的に同じ不等式が序盤に定理の証明において現れているのみである(定理1.1)
・閉作用素だが有界作用素ではない重要な例であるソボレフ空間における微分作用素が出てこない
・具体例が１変数関数に偏りがちである

関数解析の入門書としては,
藤田-黒田-伊藤「関数解析」
黒田「関数解析」
岡本-中村「関数解析」
をおすすめしたいが, 文庫本であり分量が多くない本書で入門事項を学ぶのも悪くはないだろう. 本書で扱われていない(かつ「新訂版 数理解析学概論」の最終章で必要となる)自己共役作用素のスペクトル分解は, この３冊が参考になる. ボホナー積分については「新訂版 数理解析学概論」も参考になる. ノルム空間の完備化がバナッハ空間になることの証明は宮島「関数解析」あるいは「関数解析の基礎 ∞次元の微積分」が参考になる.

(※1)
Hを内積空間, {x_n}⊂H, x_n→x∈H, (・,・)をHの内積とする. シュワルツの不等式より, 任意のy∈Hに対して,
|(x_n, y)−(x, y)|＝|(x_n−x, y)|≦||x_n−x|| ||y||→0.

(※2)
||x||≦||x−y||＋||y||, ||y||≦||y−x||＋||x||
から従う.

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投稿者：ちこ　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

本書は、表題にありますように「関数解析」の基礎を全体的に網羅して、分かり易く解説した読者に大好評の名教科書です。関数解析学という学問は、微分方程式や積分方程式などの問題を解くための方法として20世紀初頭に誕生しましたが、現代では偏微分方程式や数理経済学や数値解析など幅広い方面に応用範囲をもつものとして有用な方法と考えています。同書では、「Banach空間」、「線形作用素」、「線形汎関数」、「共役空間」、「線形作用素方程式」、「ベクトル値関数」、「線形作用素の半群」が扱われており、関数解析の基礎知識が非常に効果的に学べます。