第Ⅰ部
１曲線論・曲面論に必要な基本事項
- １．１ベクトルと行列
- １．２行列式とトレース
- １．３等長変換と運動
- １．４行列の指数関数
２平面曲線
- ２．１平面曲線とは
- ２．２平面曲線のフレネ−セレ枠と曲率
- ２．３曲率円と曲がり方
- ２．４平面曲線の基本定理
３平面曲線の性質
- ３．１閉曲線の回転数
- ３．２４頂点定理
- ３．３全曲率とフェンチェルの定理
４空間曲線
- ４．１空間曲線のフレネ−セレ枠とフレネ−セレの公式
- ４．２空間曲線の基本定理
- ４．３曲率と捩率の公式
- ４．４空間曲線のフェンチェルの定理
５曲面の位相
- ５．１集合と位相の復習
- ５．２曲面とは
- ５．３単体分割とオイラー数
- ５．４曲面の三角形分割
- ５．５曲面の連結和と位相的分類
- ５．６オイラー数と種数（１）
６曲面の局所理論
- ６．１曲面の計量と第１基本形式
- ６．２第２基本形式
- ６．３曲面の曲がり方の導入
- ６．４オイラーの考えたガウス曲率
- ６．５測地的曲率と法曲率
- ６．６主曲率，ガウス曲率と平均曲率の計算
７曲面の曲がり方
- ７．１曲面の形状とガウス曲率の符号
- ７．２座標変換
- ７．３面積要素と面積
- ７．４ガウス写像とワインガルテン写像
- ７．５計量ベクトル空間の対称変換
- ７．６定曲率曲面
８古典的手法
- ８．１クリストッフェル記号
- ８．２曲面論の基本定理（１）
- ８．３添え字の法則
９微分形式を用いて
- ９．１微分形式，外微分
- ９．２ポアンカレの補題
- ９．３正規直交動枠の導入
- ９．４接続と第１構造式
１０曲面論の基本定理
- １０．１曲面の第２構造式
- １０．２ガウスの驚愕定理
- １０．３マイナルディ−コダッチ方程式
- １０．４曲面論の基本定理（２）
１１ガウス−ボンネの定理
- １１．１線積分と面積分
- １１．２ストークスの定理
- １１．３ガウス−ボンネの定理（１）
- １１．４ガウス−ボンネの定理（２）
１２曲面上の曲線
- １２．１最短線と測地線
- １２．２最短線は測地線
- １２．３測地線は一つとは限らない
１３計量の幾何と双曲平面
- １３．１共変微分と測地線
- １３．２内在的性質，外来的性質
- １３．３双曲平面
- １３．４双曲平面の測地線
１４様々な幾何
- １４．１非ユークリッド幾何学
- １４．２三角形の内角の和
- １４．３リーマン幾何学
- １４．４ミンコフスキー空間
１５発展
- １５．１向き付け不可能な曲面
- １５．２向き付け不可能な閉曲面の分類
- １５．３オイラー数と種数（２）
- １５．４多様体とポアンカレ予想
第Ⅱ部
１６フビニ−スタディ計量
- １６．１球面の立体射影
- １６．２球面上の距離：フビニ−スタディ計量
- １６．３三角関数と双曲線関数
１７ポアンカレ計量
- １７．１ポアンカレ円板とケーリー変換
- １７．２回転双曲面と立体射影
- １７．３回転双曲面上の距離とポアンカレ計量
１８基本群と被覆空間
- １８．１単連結性と基本群
- １８．２被覆空間
- １８．３普遍被覆空間
- １８．４曲面の普遍被覆空間
- １８．５等長変換，共形変換，ケーベの一意化定理
- １８．６対称性と群作用
１９変分問題の導入
- １９．１測地線と変分問題
- １９．２極小曲面と変分問題
- １９．３調和写像と変分問題
付録
- Ａ．１曲線の長さ
- Ａ．２固有値，実対称行列，２次形式
- Ａ．３平坦領域の勾配ベクトル場と発散定理
- Ａ．４曲面上の発散定理
- Ａ．５ガウス−コダッチ方程式の別証明
- Ａ．６可積分系理論への入り口