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二項定理 1ーx+x2-x3+・・・=1/(1+x)
単位正方形の対角線の長さと階段状の縦横の合計の違い。
ヒルベルトのホテル。
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「無限」という概念の、歴史や数学的扱いについて紹介した本。
・アリストテレスが彼の著書『自然学』において導入した実無限と可能無限。
“そうすると、重要な問いは、「どのような意味で無限は存在するのか」である。
それは、現実に存在するのかもしれない。すなわち、完成した物体として、なんらかの無限が存在するのかもしれない。そうではなく、つねに拡張することのできるプロセスとして、潜在的に存在するのかもしれない。しかし、それは、いかなる段階においても有限である。(p45)”
言葉の意味としては上の引用の通りで、「実」と「可能」という文字通りであるが、そこには深い哲学的、数学的な意義が潜んでおりとても興味深い。(第3章)
・通常の(?)数学では無限小の概念を「任意の〜に対してある〜が存在する」という量化子を用いた形で定式化しているが(例えばε−δ論法)、実数に「無限小」を新たに添加して得られる非アルキメデス順序体を扱う数理論理学の一分野が超準解析である。僕は超準解析という言葉を知らなかったが、こういう拡張の方向もあり得そうだと感じた(実際成立している訳で何を言っているんだという感じだが)。(第4章)
その他、第1章は無限が登場するパズル、パラドックス、第2章は無限は小学校の算数にも登場するが、非常に大きい数の謂ではないということ、第5章は無限遠直線と透視図法、第6章は光学、(古典的)重力理論、相対論における無限(特異点)、第7章は順序数、濃度(基数)の話題。
1 パズル、証明、パラドックス
2 無限との遭遇
3 無限の歴史観
4 表裏一体の無限
5 幾何学的な無限
6 物理的な無限
7 無限を数える
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「無限とは起こらないことが起きる場所である」
無限に続く直線と有限な円
初期の神学者の考える神の有限な力による完全性と不完全な無限
文学的な要素のある無限は面白い。数学的な話の部分は難しくて自分にはよく分からないので流す
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無限とその周縁を語る本です。哲学、宗教、芸術、宇宙、パラドックスなど幅広い話題を取り扱っているため数学本が好きな方以外も楽しめます。
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突然ですが、わたしは「男の娘」「アイデンティティ」などの概念を理解するには無限に関する理解が必要だと考えています。
自分とはなにか、何故自分を自分だと思うか、は各事象に対する価値観を足し合わせたものになるからです。しかし、現実には事象は(まだ現れていないものも含めて)無限に目の前に現れてくるので、これは無限和になってしまう。そこで、無限とはなにか?が問題になってくるわけです。
前々から無限フェアをしようと思っていたのですが、なかなか取り組む機会がなく…(いいわけ)
ということで第一弾は岩波科学ライブラリーです。
内容は、無限に関するトピックを次々に繰り出すという感じで、既に他で触れていないとこの本での理解は難しい。全体をレビュー的に捉えた本、という位置づけでした。
ではまた、
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図書館で借りた。
無限にテーマを絞った1冊。高校2,3年生で初めて極限を習ったあたりで、「イマイチ意味分からん」な人には丁度良いレベル感な本だ。内容も非常に丁寧で、何なら中学生にだって読み進められる。
一部宗教的な話もあったが、基本的には中高生の「無限って何なん!?」に対するアンサーブックと言って良いかと思う。しっかりと理論立てられているが、そこまで複雑にはならない。
また、さまざまな無限に向き合うのもこの本の特徴だ。単純に計算的な意味での無限はもちろん、幾何学的、物理的などなど、「あぁ~、それも無限だね」と頷きながら読み進められる。