解析入門　上 みんなのレビュー

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投稿者：類太郎　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

高校数学程度の微分積分を学び終えた方にとって, 最もていねいで読みやすく簡潔な解析学の入門書であろう.

解析学の入門書としては, 問題も含めて微分積分の基本的なことは大体書いてあり, 初学者にとって難解な定理や概念もわかりやすく解説しており, 実例が多く, 実数論も欠かせていないのは高く評価したい. しかもＲやＣの構成は初読の際は飛ばしても差し支えないようにしてある. 三角関数の定義は平面幾何学によるものであり厳密ではなく初学者向けの有名な循環論法を含むのだが, 後に複素関数の意味で冪級数により三角関数を定義し直しているので, 厳密性も全体的に高くなっている. 三角関数の節にも重要な内容がいくつかあるので, 三角関数は既知でも読んでみることをおすすめしたい. また対数関数を事実上log(x)＝∫[1, x](1/t)dtで定義しその逆関数が存在することを示してlogの逆関数をexpと定義するのも理論的でおもしろい.

全体的に「関数f(x)」という言い方は極力避けて「関数f」「関数y＝f(x)」の形で書いているのも厳密性の高さを感じる.

∫[a, x]f(t)dtの形の関数を積分関数と呼び, aを特定せずCを任意の定数として∫[a, x]f(t)dt＋Cと表される関数の総称を不定積分とし, fが連続関数の場合に限って同義語として, 原始関数と不定積分を明確に区別しているのも理論的に良好である.

代数系・初等整数論・平面幾何学との関連もわかる. 実数論については√2が無理数であることの完全な証明もある. 一般に正整数Nがk乗数でないときNのk乗根が無理数であることも証明している.

図説も多く, Ｒの構成は「新訂版 数理解析学概論」と同じくＱの切断全体の集合とするもので, 直観的にもわかりやすいであろう. 広義積分の収束問題についても興味深い図説がある. ε-論法についても図説だけではない独特の解説があり初学者にやさしい. なおＲをＱの切断全体の集合として構成するのは「新訂版 数理解析学概論」によれば順序数という概念に基づき, 私にとって数とは何か考える上で重要であった.

導関数に微分可能性が遺伝しない例・ガウス積分・スターリングの公式・連続性や微分可能性と一様収束性の関係・定義域全体で微分不可能な連続関数などおもしろい例もいくつかある.

ただ, 最終章にある中巻の多変数関数に向けた線型代数は, 既知のほうが読みやすいであろう. ただ予備知識としては仮定していない書き方になっている. どちらかというと復習または理論の完備性のために書かれてある印象である.

数学を初歩から理論的に学びたい方にもおすすめしたい. 問題は解けなくてもいいので目を通して理解し, 重要そうな結果は記憶しておくと良いであろう. 本文の殆んどの定理には比較的わかりやすい証明が付いている.

なお, 中巻の第11章の集合論も本書を読むのに役立つ.

ラングの解析入門は解析学の入門書としては簡単すぎるが, 杉浦の解析入門は分量が多く難解と感じるなら, この解析入門が解析学に偏らない現代数学の入門となり良さそうである. 誤植は見当たらなかった. 印刷の質も問題ない.

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投稿者：ちこ　-　この投稿者のレビュー一覧を見る

本署は、非常に分かり易く解説されていると評判の「数学入門シリーズ」の第4巻名です。同書は、解析について書かれていますが、微積分の入門から始まって、線形代数、フーリエ級数、複素関数論、微分形式やルベーグ積分等、現代的なテーマに至るまで、非常に詳しく、分かり易く説明されています。ぜひ、解析学をマスターしたい人には読んでいただきたい良書です。